Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{2} - 6 x - 5$ , $[- 2, 1]$

Passaggio 1

Se $f$ è continua sull'intervallo $[a, b]$ e differenziabile su $(a, b)$ , allora esiste almeno un numero reale $c$ nell'intervallo $(a, b)$ tale che $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Il teorema di Lagrange esprime la relazione tra il coefficiente angolare della tangente alla curva con $x = c$ e il coefficiente angolare della retta passante per i punti $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Quando $f (x)$ è continua su $[a, b]$

e se $f (x)$ differenziabile su $(a, b)$ ,

quindi esiste almeno un punto, $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Passaggio 2

Verifica se $f (x) = 3 x^{2} - 6 x - 5$ è continua.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2.2

$f (x)$ è continua su $[- 2, 1]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 3

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 6 x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.1.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.1.3.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$6 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x - 6 + 0$

Passaggio 3.1.4.2

Somma $6 x - 6$ e $0$ .

$f' (x) = 6 x - 6$

Passaggio 3.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x - 6$ .

$6 x - 6$

Passaggio 4

Definisci se la derivata è continua su $(- 2, 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4.2

$f' (x)$ è continua su $(- 2, 1)$ .

La funzione è continua.

Passaggio 5

La funzione è differenziabile su $(- 2, 1)$ perché la derivata è continua su $(- 2, 1)$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 6

$f (x)$ soddisfa le due condizioni del teorema del valor medio. È continua su $[- 2, 1]$ e differenziabile su $(- 2, 1)$ .

$f (x)$ è continua su $[- 2, 1]$ e differenziabile su $(- 2, 1)$ .

Passaggio 7

Calcola $f (a)$ dall'intervallo $[- 2, 1]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 - 5$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = 3 \cdot 4 - 6 \cdot - 2 - 5$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (- 2) = 12 - 6 \cdot - 2 - 5$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 6$ per $- 2$ .

$f (- 2) = 12 + 12 - 5$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Somma $12$ e $12$ .

$f (- 2) = 24 - 5$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $5$ da $24$ .

$f (- 2) = 19$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $19$ .

$19$

Passaggio 8

Calcola $f (b)$ dall'intervallo $[- 2, 1]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 - 5$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 6 \cdot 1 - 5$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (1) = 3 - 6 \cdot 1 - 5$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f (1) = 3 - 6 - 5$

Passaggio 8.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Sottrai $6$ da $3$ .

$f (1) = - 3 - 5$

Passaggio 8.2.2.2

Sottrai $5$ da $- 3$ .

$f (1) = - 8$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $- 8$ .

$- 8$

Passaggio 9

Risolvi $6 x - 6 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ per $x$ . $6 x - 6 = \frac{- (f (1) + f (- 2))}{- (1 - 2)}$

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica $\frac{(- 8) - (19)}{(1) - (- 2)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $19$ .

$6 x - 6 = \frac{- 8 - 19}{1 - (- 2)}$

Passaggio 9.1.1.2

Sottrai $19$ da $- 8$ .

$6 x - 6 = \frac{- 27}{1 - (- 2)}$

Passaggio 9.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$6 x - 6 = \frac{- 27}{1 + 2}$

Passaggio 9.1.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$6 x - 6 = \frac{- 27}{3}$

Passaggio 9.1.3

Dividi $- 27$ per $3$ .

$6 x - 6 = - 9$

Passaggio 9.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$6 x = - 9 + 6$

Passaggio 9.2.2

Somma $- 9$ e $6$ .

$6 x = - 3$

Passaggio 9.3

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = - 3$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 3}{6}$

Passaggio 9.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 3}{6}$

Passaggio 9.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 3}{6}$

Passaggio 9.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$x = \frac{3 (- 1)}{6}$

Passaggio 9.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$x = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Passaggio 9.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Passaggio 9.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 9.3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 10

C'è una tangente che si trova con $x = - \frac{1}{2}$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = - 2$ e $b = 1$ .

C'è una tangente con $x = - \frac{1}{2}$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = - 2$ e $b = 1$

Passaggio 11