Calcolo Esempi

$y = x \sqrt{4 - x}$

Passaggio 1

Scrivi $y = x \sqrt{4 - x}$ come funzione.

$f (x) = x \sqrt{4 - x}$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 - x}$ come ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 - x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - x$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.8.3

Sposta ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.8.4

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.10

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.11

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.14

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.14.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.14.2

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot - 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.14.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.14.3.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = \frac{- 1 \cdot x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.14.3.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$f' (x) = \frac{- x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.14.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 2.1.1.16

Moltiplica ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.1.1.17

Per scrivere ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.18

${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.19

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.20

Moltiplica ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.20.1

Sposta ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.20.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.20.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.20.4

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.20.5

Dividi $2$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{- x + (4 - x) \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.21

Semplifica ${(4 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{- x + (4 - x) \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.22

Sposta $2$ alla sinistra di $4 - x$ .

$f' (x) = \frac{- x + 2 \cdot (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.23

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.23.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{- x + 2 \cdot 4 + 2 (- x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.23.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.23.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.23.2.1.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f' (x) = \frac{- x + 8 + 2 (- x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.23.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{- x + 8 - 2 x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.23.2.2

Sottrai $2 x$ da $- x$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x + 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.23.3

Scomponi $- 1$ da $- 3 x$ .

$f' (x) = \frac{- (3 x) + 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.23.4

Riscrivi $8$ come $- 1 (- 8)$ .

$f' (x) = \frac{- (3 x) - 1 \cdot - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.23.5

Scomponi $- 1$ da $- (3 x) - 1 (- 8)$ .

$f' (x) = \frac{- (3 x - 8)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.23.6

Riscrivi $- (3 x - 8)$ come $- 1 (3 x - 8)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (3 x - 8)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.23.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 8}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 x - 8}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 3 x - 8$ e $g (x) = {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Passaggio 2.1.2.4

Semplifica.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Passaggio 2.1.2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Passaggio 2.1.2.5.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Passaggio 2.1.2.5.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Passaggio 2.1.2.5.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Passaggio 2.1.2.5.5

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Passaggio 2.1.2.5.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.6.1

Somma $3$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Passaggio 2.1.2.5.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Passaggio 2.1.2.6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Passaggio 2.1.2.6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Passaggio 2.1.2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Passaggio 2.1.2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Passaggio 2.1.2.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Passaggio 2.1.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Passaggio 2.1.2.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Passaggio 2.1.2.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Passaggio 2.1.2.11

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.11.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Passaggio 2.1.2.11.2

$\frac{1}{2}$ e ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Passaggio 2.1.2.11.3

Sposta ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Passaggio 2.1.2.12

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x)))}{4 - x}$

Passaggio 2.1.2.13

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)))}{4 - x}$

Passaggio 2.1.2.14

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x))}{4 - x}$

Passaggio 2.1.2.15

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x))}{4 - x}$

Passaggio 2.1.2.16

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.16.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 1 (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{4 - x}$

Passaggio 2.1.2.16.2

Moltiplica $3 x - 8$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{4 - x}$

Passaggio 2.1.2.17

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 1}{4 - x}$

Passaggio 2.1.2.18

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.18.1

Moltiplica $3 x - 8$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{4 - x}$

Passaggio 2.1.2.18.2

Moltiplica $\frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x}$ per $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{(4 - x) \cdot 2}$

Passaggio 2.1.2.18.3

Sposta $2$ alla sinistra di $4 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot (4 - x)}$

Passaggio 2.1.2.19

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Passaggio 2.1.2.19.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.1

Sia $u_{2} = {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ con $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 u_{2} u_{2}) + 3 x - 8}{2 u_{2}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.2

Moltiplica $u_{2}$ per $u_{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.1.2.1

Sposta $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 (u_{2} u_{2})) + 3 x - 8}{2 u_{2}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.2.2

Moltiplica $u_{2}$ per $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 {u_{2}}^{2}) + 3 x - 8}{2 u_{2}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Passaggio 2.1.2.19.2.1.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {u_{2}}^{2} + 3 x - 8}{2 u_{2}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Passaggio 2.1.2.19.2.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Passaggio 2.1.2.19.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.3.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.3.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Passaggio 2.1.2.19.2.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.2.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Passaggio 2.1.2.19.2.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 (4 - x) + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Passaggio 2.1.2.19.2.3.1.2

Semplifica.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 (4 - x) + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Passaggio 2.1.2.19.2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 \cdot 4 + 6 (- x) + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Passaggio 2.1.2.19.2.3.1.4

Moltiplica $6$ per $4$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 + 6 (- x) + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Passaggio 2.1.2.19.2.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 - 6 x + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Passaggio 2.1.2.19.2.3.2

Sottrai $8$ da $24$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 6 x + 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Passaggio 2.1.2.19.2.3.3

Somma $- 6 x$ e $3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Passaggio 2.1.2.19.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.3.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{8 + 2 (- x)}$

Passaggio 2.1.2.19.3.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{8 - 2 x}$

Passaggio 2.1.2.19.3.3

Riscrivi $\frac{\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{8 - 2 x}$ come un prodotto.

$f'' (x) = - (\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{8 - 2 x})$

Passaggio 2.1.2.19.3.4

Moltiplica $\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{8 - 2 x}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (8 - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2.19.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.4.1

Scomponi $2$ da $8 - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.4.1.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (4) - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2.19.4.1.2

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (4) + 2 (- x))}$

Passaggio 2.1.2.19.4.1.3

Scomponi $2$ da $2 (4) + 2 (- x)$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (4 - x))}$

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (4 - x))}$

Passaggio 2.1.2.19.4.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.19.4.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (4 - x)}$

Passaggio 2.1.2.19.4.2.2

Eleva $4 - x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 ((4 - x) {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 2.1.2.19.4.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.2.19.4.2.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.2.19.4.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Passaggio 2.1.2.19.4.2.6

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.1.2.19.5

Scomponi $- 1$ da $- 3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- (3 x) + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.1.2.19.6

Riscrivi $16$ come $- 1 (- 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{- (3 x) - 1 \cdot - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.1.2.19.7

Scomponi $- 1$ da $- (3 x) - 1 (- 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{- (3 x - 16)}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.1.2.19.8

Riscrivi $- (3 x - 16)$ come $- 1 (3 x - 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{- 1 (3 x - 16)}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.1.2.19.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.1.2.19.10

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 2.1.2.19.11

Moltiplica $\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 2.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$3 x - 16 = 0$

Passaggio 2.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Somma $16$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 16$

Passaggio 2.2.3.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 16$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 16$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

Passaggio 2.2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

Passaggio 2.2.3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{16}{3}$

Passaggio 2.2.4

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ vera.

$Nessuna soluzione$

Passaggio 3

Trova il dominio di $f (x) = x \sqrt{4 - x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{4 - x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$4 - x \geq 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x \geq - 4$

Passaggio 3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq - 4$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x \leq 4$

Passaggio 3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 4]$

Notazione intensiva:

${x | x \leq 4}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 4]$

Notazione intensiva:

${x | x \leq 4}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, 4]$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, 4]$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = \frac{3 (0) - 16}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $4$ da $3 (0)$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0)) - 16}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $4$ da $- 16$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0)) + 4 \cdot - 4}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $4$ da $4 (3 \cdot (0)) + 4 (- 4)$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) - 4)}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Scomponi $4$ da $4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) - 4)}{4 ({(4 - (0))}^{\frac{3}{2}})}$

Passaggio 5.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) - 4)}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot (0) - 4}{{(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 - 4}{{(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2.5.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 4}{{(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Sottrai $0$ da $4$ .

$f'' (0) = \frac{- 4}{4^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2.6.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f'' (0) = \frac{- 4}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2.6.3

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0) = \frac{- 4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 5.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (0) = \frac{- 4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 5.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (0) = \frac{- 4}{2^{3}}$

Passaggio 5.2.6.5

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0) = \frac{- 4}{8}$

Passaggio 5.2.7

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$f'' (0) = \frac{4 (- 1)}{8}$

Passaggio 5.2.7.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Passaggio 5.2.7.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Passaggio 5.2.7.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (0) = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.2.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (0) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.8

La risposta finale è $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, 4]$ perché $f'' (0)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, 4]$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 6