Calcolo Esempi

$f (x) = x \sqrt{3 - x}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 - x}$ come ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}}) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 3 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 - x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 - x$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.8.3

Sposta ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.8.4

$\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.10

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.11

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.14

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.14.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.14.2

$\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot - 1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.14.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.14.3.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = \frac{- 1 \cdot x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.14.3.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$f' (x) = \frac{- x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.14.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.1.15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.16

Moltiplica ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.1.17

Per scrivere ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.18

${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.19

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.20

Moltiplica ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.20.1

Sposta ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.20.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.20.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.20.4

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.20.5

Dividi $2$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{- x + (3 - x) \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.21

Semplifica ${(3 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{- x + (3 - x) \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.22

Sposta $2$ alla sinistra di $3 - x$ .

$f' (x) = \frac{- x + 2 \cdot (3 - x)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.23

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.23.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{- x + 2 \cdot 3 + 2 (- x)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.23.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.23.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.23.2.1.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f' (x) = \frac{- x + 6 + 2 (- x)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.23.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{- x + 6 - 2 x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.23.2.2

Sottrai $2 x$ da $- x$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x + 6}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.23.3

Scomponi $3$ da $- 3 x + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.23.3.1

Scomponi $3$ da $- 3 x$ .

$f' (x) = \frac{3 (- x) + 6}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.23.3.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$f' (x) = \frac{3 (- x) + 3 (2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.23.3.3

Scomponi $3$ da $3 (- x) + 3 (2)$ .

$f' (x) = \frac{3 (- x + 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.23.4

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$f' (x) = \frac{3 (- (x) + 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.23.5

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$f' (x) = \frac{3 (- (x) - 1 \cdot - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.23.6

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 2)$ .

$f' (x) = \frac{3 (- (x - 2))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.23.7

Riscrivi $- (x - 2)$ come $- 1 (x - 2)$ .

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x - 2))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.23.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{3 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- \frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x - 2}{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - 2$ e $g (x) = {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.1.2.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Passaggio 1.1.2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Passaggio 1.1.2.5.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Passaggio 1.1.2.5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Passaggio 1.1.2.5.4.2

Moltiplica ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Passaggio 1.1.2.6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 3 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Passaggio 1.1.2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Passaggio 1.1.2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Passaggio 1.1.2.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Passaggio 1.1.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Passaggio 1.1.2.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Passaggio 1.1.2.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Passaggio 1.1.2.11

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.11.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Passaggio 1.1.2.11.2

$\frac{1}{2}$ e ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{{(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Passaggio 1.1.2.11.3

Sposta ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Passaggio 1.1.2.12

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- x)))}{3 - x}$

Passaggio 1.1.2.13

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)))}{3 - x}$

Passaggio 1.1.2.14

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x))}{3 - x}$

Passaggio 1.1.2.15

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x))}{3 - x}$

Passaggio 1.1.2.16

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.16.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + 1 (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{3 - x}$

Passaggio 1.1.2.16.2

Moltiplica $x - 2$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{3 - x}$

Passaggio 1.1.2.17

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 1}{3 - x}$

Passaggio 1.1.2.18

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.18.1

Moltiplica $x - 2$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{3 - x}$

Passaggio 1.1.2.18.2

Moltiplica $\frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{3 - x}$ per $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{({(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})) \cdot 3}{(3 - x) \cdot 2}$

Passaggio 1.1.2.18.3

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.18.3.1

Sposta $3$ alla sinistra di ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \cdot ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{(3 - x) \cdot 2}$

Passaggio 1.1.2.18.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $3 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot (3 - x)}$

Passaggio 1.1.2.19

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.19.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (3 - x)}$

Passaggio 1.1.2.19.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Passaggio 1.1.2.19.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.19.3.1

Scomponi $3$ da $3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + 3 (x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.19.3.1.1

Scomponi $3$ da $3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Passaggio 1.1.2.19.3.1.2

Scomponi $3$ da $3 (x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Passaggio 1.1.2.19.3.1.3

Scomponi $3$ da $3 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$f'' (x) = - \frac{3 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Passaggio 1.1.2.19.3.2

Sia $u_{2} = {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ con $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.19.3.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 u_{2} u_{2} + x - 2}{2 u_{2}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Passaggio 1.1.2.19.3.2.2

Moltiplica $u_{2}$ per $u_{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.19.3.2.2.1

Sposta $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 (u_{2} u_{2}) + x - 2}{2 u_{2}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Passaggio 1.1.2.19.3.2.2.2

Moltiplica $u_{2}$ per $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 {u_{2}}^{2} + x - 2}{2 u_{2}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Passaggio 1.1.2.19.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Passaggio 1.1.2.19.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.19.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.19.3.4.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.19.3.4.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Passaggio 1.1.2.19.3.4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.19.3.4.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Passaggio 1.1.2.19.3.4.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 (3 - x) + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Passaggio 1.1.2.19.3.4.1.2

Semplifica.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 (3 - x) + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Passaggio 1.1.2.19.3.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 \cdot 3 + 2 (- x) + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Passaggio 1.1.2.19.3.4.1.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{6 + 2 (- x) + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Passaggio 1.1.2.19.3.4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{6 - 2 x + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Passaggio 1.1.2.19.3.4.2

Sottrai $2$ da $6$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 2 x + x + 4}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Passaggio 1.1.2.19.3.4.3

Somma $- 2 x$ e $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- x + 4}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Passaggio 1.1.2.19.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.19.4.1

$3$ e $\frac{- x + 4}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Passaggio 1.1.2.19.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{6 + 2 (- x)}$

Passaggio 1.1.2.19.4.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{6 - 2 x}$

Passaggio 1.1.2.19.4.4

Riscrivi $\frac{\frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{6 - 2 x}$ come un prodotto.

$f'' (x) = - (\frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{6 - 2 x})$

Passaggio 1.1.2.19.4.5

Moltiplica $\frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{6 - 2 x}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (6 - 2 x)}$

Passaggio 1.1.2.19.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.19.5.1

Scomponi $2$ da $6 - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.19.5.1.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (3) - 2 x)}$

Passaggio 1.1.2.19.5.1.2

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (3) + 2 (- x))}$

Passaggio 1.1.2.19.5.1.3

Scomponi $2$ da $2 (3) + 2 (- x)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (3 - x))}$

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (3 - x))}$

Passaggio 1.1.2.19.5.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.19.5.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 - x)}$

Passaggio 1.1.2.19.5.2.2

Eleva $3 - x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{4 ((3 - x) {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.1.2.19.5.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.2.19.5.2.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.2.19.5.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Passaggio 1.1.2.19.5.2.6

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.1.2.19.6

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- (x) + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.1.2.19.7

Riscrivi $4$ come $- 1 (- 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- (x) - 1 \cdot - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.1.2.19.8

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- (x - 4))}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.1.2.19.9

Riscrivi $- (x - 4)$ come $- 1 (x - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- 1 (x - 4))}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.1.2.19.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{3 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.1.2.19.11

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{3 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 1.1.2.19.12

Moltiplica $\frac{3 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{3 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{3 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{3 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$3 (x - 4) = 0$

Passaggio 1.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 (x - 4) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 (x - 4) = 0$ .

$\frac{3 (x - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (x - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 1.2.3.1.2.1.2

Dividi $x - 4$ per $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{3}$

Passaggio 1.2.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 1.2.4

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{3 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ vera.

$Nessuna soluzione$

Passaggio 2

Trova il dominio di $f (x) = x \sqrt{3 - x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta il radicando in $\sqrt{3 - x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$3 - x \geq 0$

Passaggio 2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x \geq - 3$

Passaggio 2.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq - 3$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 2.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.1

Dividi $- 3$ per $- 1$ .

$x \leq 3$

Passaggio 2.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 3]$

Notazione intensiva:

${x | x \leq 3}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 3]$

Notazione intensiva:

${x | x \leq 3}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, 3]$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, 3]$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = \frac{3 ((0) - 4)}{4 {(3 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi $4$ da $3 ((0) - 4)$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 - 1))}{4 {(3 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Scomponi $4$ da $4 {(3 - (0))}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 - 1))}{4 ({(3 - (0))}^{\frac{3}{2}})}$

Passaggio 4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 - 1))}{4 {(3 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (0) = \frac{3 (0 - 1)}{{(3 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $1$ da $0$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 1}{{(3 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.4

Sottrai $0$ da $3$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f'' (0) = \frac{- 3}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (0) = - \frac{3}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.7

Sposta $3^{1}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1}}$

Passaggio 4.2.8

Moltiplica $3^{\frac{3}{2}}$ per $3^{- 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (0) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2} - 1}}$

Passaggio 4.2.8.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.2.8.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

Passaggio 4.2.8.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (0) = - \frac{1}{3^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}}$

Passaggio 4.2.8.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{3^{\frac{3 - 2}{2}}}$

Passaggio 4.2.8.5.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2.9

La risposta finale è $- \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, 3]$ perché $f'' (0)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, 3]$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 5