Calcolo Esempi

$f (x) = 10 x^{3} - 3 x^{5}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 x^{3} - 3 x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (10 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [10 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x^{3}$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $10$ .

$f' (x) = 30 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

Passaggio 1.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{5}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 30 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{5}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$f' (x) = 30 x^{2} - 3 (5 x^{4})$

Passaggio 1.1.1.3.3

Moltiplica $5$ per $- 3$ .

$f' (x) = 30 x^{2} - 15 x^{4}$

Passaggio 1.1.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - 15 x^{4} + 30 x^{2}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 15 x^{4} + 30 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 15 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 15 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

Passaggio 1.1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = - 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

Passaggio 1.1.2.2.3

Moltiplica $4$ per $- 15$ .

$f'' (x) = - 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

Passaggio 1.1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Poiché $30$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $30 x^{2}$ rispetto a $x$ è $30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 60 x^{3} + 30 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 60 x^{3} + 30 (2 x)$

Passaggio 1.1.2.3.3

Moltiplica $2$ per $30$ .

$f'' (x) = - 60 x^{3} + 60 x$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 60 x^{3} + 60 x$ .

$- 60 x^{3} + 60 x$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 60 x^{3} + 60 x = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 60 x^{3} + 60 x = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $- 60 x$ da $- 60 x^{3} + 60 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Scomponi $- 60 x$ da $- 60 x^{3}$ .

$- 60 x \cdot x^{2} + 60 x = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Scomponi $- 60 x$ da $60 x$ .

$- 60 x \cdot x^{2} - 60 x \cdot - 1 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3

Scomponi $- 60 x$ da $- 60 x (x^{2}) - 60 x (- 1)$ .

$- 60 x (x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- 60 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$- 60 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 1.2.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 60 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 1.2.6

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.6.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 1.2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 60 x (x + 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 0, - 1, 1$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f'' (- 4) = - 60 {(- 4)}^{3} + 60 (- 4)$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 4) = - 60 \cdot - 64 + 60 (- 4)$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- 60$ per $- 64$ .

$f'' (- 4) = 3840 + 60 (- 4)$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $60$ per $- 4$ .

$f'' (- 4) = 3840 - 240$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $240$ da $3840$ .

$f'' (- 4) = 3600$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $3600$ .

$3600$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, - 1)$ perché $f'' (- 4)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, - 1)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- 1, 0)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.5$ nell'espressione.

$f'' (- 0.5) = - 60 {(- 0.5)}^{3} + 60 (- 0.5)$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 0.5$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 0.5) = - 60 \cdot - 0.125 + 60 (- 0.5)$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 60$ per $- 0.125$ .

$f'' (- 0.5) = 7.5 + 60 (- 0.5)$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $60$ per $- 0.5$ .

$f'' (- 0.5) = 7.5 - 30$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $30$ da $7.5$ .

$f'' (- 0.5) = - 22.5$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 22.5$ .

$- 22.5$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- 1, 0)$ perché $f'' (- 0.5)$ è negativo.

Funzione concava su $(- 1, 0)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(0, 1)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.5$ nell'espressione.

$f'' (0.5) = - 60 {(0.5)}^{3} + 60 (0.5)$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $0.5$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.5) = - 60 \cdot 0.125 + 60 (0.5)$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 60$ per $0.125$ .

$f'' (0.5) = - 7.5 + 60 (0.5)$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $60$ per $0.5$ .

$f'' (0.5) = - 7.5 + 30$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 7.5$ e $30$ .

$f'' (0.5) = 22.5$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $22.5$ .

$22.5$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(0, 1)$ perché $f'' (0.5)$ è positivo.

Funzione convessa su $(0, 1)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 7

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f'' (4) = - 60 {(4)}^{3} + 60 (4)$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f'' (4) = - 60 \cdot 64 + 60 (4)$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 60$ per $64$ .

$f'' (4) = - 3840 + 60 (4)$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $60$ per $4$ .

$f'' (4) = - 3840 + 240$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 3840$ e $240$ .

$f'' (4) = - 3600$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 3600$ .

$- 3600$

Passaggio 7.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(1, \infty)$ perché $f'' (4)$ è negativo.

Funzione concava su $(1, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 8

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione convessa su $(- \infty, - 1)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(- 1, 0)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(0, 1)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(1, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 9