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Calcolo Esempi
Passaggio 1
Scrivi come funzione.
Passaggio 2
Passaggio 2.1
Trova la derivata seconda.
Passaggio 2.1.1
Trova la derivata prima.
Passaggio 2.1.1.1
Differenzia.
Passaggio 2.1.1.1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.1.1.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.1.1.2
Calcola .
Passaggio 2.1.1.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.1.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.1.1.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 2.1.1.3
Differenzia usando la regola della costante.
Passaggio 2.1.1.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.1.3.2
Somma e .
Passaggio 2.1.2
Trova la derivata seconda.
Passaggio 2.1.2.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.2.2
Calcola .
Passaggio 2.1.2.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.2.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.1.2.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 2.1.2.3
Calcola .
Passaggio 2.1.2.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.2.3.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.1.2.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 2.1.3
La derivata seconda di rispetto a è .
Passaggio 2.2
Imposta la derivata seconda pari a , quindi risolvi l'equazione .
Passaggio 2.2.1
Imposta la derivata seconda uguale a .
Passaggio 2.2.2
Somma a entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 2.2.3
Dividi per ciascun termine in e semplifica.
Passaggio 2.2.3.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 2.2.3.2
Semplifica il lato sinistro.
Passaggio 2.2.3.2.1
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 2.2.3.2.1.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.2.3.2.1.2
Dividi per .
Passaggio 2.2.3.3
Semplifica il lato destro.
Passaggio 2.2.3.3.1
Elimina il fattore comune di e .
Passaggio 2.2.3.3.1.1
Scomponi da .
Passaggio 2.2.3.3.1.2
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 2.2.3.3.1.2.1
Scomponi da .
Passaggio 2.2.3.3.1.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.2.3.3.1.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 2.2.4
Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.
Passaggio 2.2.5
Semplifica .
Passaggio 2.2.5.1
Riscrivi come .
Passaggio 2.2.5.2
Qualsiasi radice di è .
Passaggio 2.2.5.3
Moltiplica per .
Passaggio 2.2.5.4
Combina e semplifica il denominatore.
Passaggio 2.2.5.4.1
Moltiplica per .
Passaggio 2.2.5.4.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.2.5.4.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.2.5.4.4
Usa la regola della potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 2.2.5.4.5
Somma e .
Passaggio 2.2.5.4.6
Riscrivi come .
Passaggio 2.2.5.4.6.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 2.2.5.4.6.2
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 2.2.5.4.6.3
e .
Passaggio 2.2.5.4.6.4
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 2.2.5.4.6.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.2.5.4.6.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 2.2.5.4.6.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 2.2.6
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Passaggio 2.2.6.1
Per prima cosa, usa il valore positivo di per trovare la prima soluzione.
Passaggio 2.2.6.2
Ora, usa il valore negativo del per trovare la seconda soluzione.
Passaggio 2.2.6.3
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Passaggio 3
Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.
Notazione degli intervalli:
Notazione intensiva:
Passaggio 4
Crea intervalli attorno ai valori di per cui la derivata seconda è zero o indefinita.
Passaggio 5
Passaggio 5.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 5.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 5.2.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 5.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.2.2
Sottrai da .
Passaggio 5.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 5.3
Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo perché è positivo.
Funzione convessa su poiché è positivo
Funzione convessa su poiché è positivo
Passaggio 6
Passaggio 6.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 6.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 6.2.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 6.2.1.1
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 6.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 6.2.2
Sottrai da .
Passaggio 6.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 6.3
Il grafico è una funzione concava sull'intervallo perché è negativo.
Funzione concava su poiché è negativo
Funzione concava su poiché è negativo
Passaggio 7
Passaggio 7.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 7.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 7.2.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 7.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 7.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 7.2.2
Sottrai da .
Passaggio 7.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 7.3
Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo perché è positivo.
Funzione convessa su poiché è positivo
Funzione convessa su poiché è positivo
Passaggio 8
Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.
Funzione convessa su poiché è positivo
Funzione concava su poiché è negativo
Funzione convessa su poiché è positivo
Passaggio 9