Calcolo Esempi

$e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Passaggio 1

Scrivi $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ come funzione.

$f (x) = e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{32}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- \frac{x^{2}}{32}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

Passaggio 2.1.1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

Passaggio 2.1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- \frac{x^{2}}{32}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Poiché $- \frac{1}{32}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{2}}{32}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{32}} (- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.1.1.2.2

$e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ e $\frac{1}{32}$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} (2 x)$

Passaggio 2.1.1.2.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x$

Passaggio 2.1.1.2.4.2

$- 2$ e $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x$

Passaggio 2.1.1.2.4.3

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ e $x$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{32}$

Passaggio 2.1.1.2.4.4

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.4.4.1

Scomponi $2$ da $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}} x$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{32}$

Passaggio 2.1.1.2.4.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.4.4.2.1

Scomponi $2$ da $32$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{2 (16)}$

Passaggio 2.1.1.2.4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.1.1.2.4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{16}$

Passaggio 2.1.1.2.4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.4.5.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{16}$

Passaggio 2.1.1.2.4.5.2

Riordina i fattori in $e^{- \frac{x^{2}}{32}} x$ .

$f' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $- \frac{1}{16}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{32}}]$ .

$- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{32}}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ .

$- \frac{1}{16} (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{32}}] + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{32}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- \frac{x^{2}}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{16} (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- \frac{x^{2}}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (x (e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Poiché $- \frac{1}{32}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{2}}{32}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{16} (x (e^{- \frac{x^{2}}{32}} (- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.2.1

$e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ e $\frac{1}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.2.4.2.2

$x$ e $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.2.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{1}{16} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.2.4.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{16} (- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.2.4.4.2

$- 2$ e $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} x + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.2.4.4.3

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32}$ e $x$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}}) x}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.2.8

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.2.8.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.2.8.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.2.2.1

Scomponi $2$ da $32$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{2 (16)} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.2.8.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{2 \cdot 16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.2.8.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{16} (\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.2.8.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \cdot 1)$

Passaggio 2.1.2.10

Moltiplica $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ per $1$ .

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}})$

Passaggio 2.1.2.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}) - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Passaggio 2.1.2.11.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.11.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{16}) \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Passaggio 2.1.2.11.2.2

Moltiplica $\frac{1}{16}$ per $1$ .

$\frac{1}{16} \cdot \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Passaggio 2.1.2.11.2.3

Moltiplica $\frac{1}{16}$ per $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16 \cdot 16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Passaggio 2.1.2.11.2.4

Moltiplica $16$ per $16$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Passaggio 2.1.2.11.2.5

$e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ e $\frac{1}{16}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} = 0$

Passaggio 2.2.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x = - 4, 4$

Passaggio 3

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - 4)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6$ nell'espressione.

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2} e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Sposta $e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{256 e^{\frac{{(- 6)}^{2}}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 5.2.1.2

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 5.2.1.4

Elimina il fattore comune di $36$ e $32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.4.1

Scomponi $4$ da $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 (9)}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 5.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.4.2.1

Scomponi $4$ da $32$ .

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 5.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 5.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 5.2.1.5

Scomponi $4$ da $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 (9)}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 5.2.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.6.1

Scomponi $4$ da $256 e^{\frac{9}{8}}$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 (9)}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 5.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot 9}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 5.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 5.2.1.7

Sposta $e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}$

Passaggio 5.2.1.8

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{36}{32}}}$

Passaggio 5.2.1.9

Elimina il fattore comune di $36$ e $32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.9.1

Scomponi $4$ da $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 (9)}{32}}}$

Passaggio 5.2.1.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.9.2.1

Scomponi $4$ da $32$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

Passaggio 5.2.1.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

Passaggio 5.2.1.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$

Passaggio 5.2.2

Per scrivere $- \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 5.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $64 e^{\frac{9}{8}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{16 e^{\frac{9}{8}} \cdot 4}$

Passaggio 5.2.3.2

Moltiplica $4$ per $16$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Passaggio 5.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (- 6) = \frac{9 - 4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Passaggio 5.2.5

Sottrai $4$ da $9$ .

$f'' (- 6) = \frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Passaggio 5.2.6

La risposta finale è $\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$ .

$\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, - 4)$ perché $f'' (- 6)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, - 4)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- 4, 4)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = \frac{{(0)}^{2} e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = \frac{0^{2} e^{- \frac{0}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 6.2.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 e^{- \frac{0}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 6.2.1.2.2

Dividi $0$ per $32$ .

$f'' (0) = \frac{0 e^{- 0}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 6.2.1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 e^{0}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 6.2.1.2.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f'' (0) = \frac{0 \cdot 1}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $0$ per $1$ .

$f'' (0) = \frac{0}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 6.2.1.4

Dividi $0$ per $256$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 6.2.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- \frac{0}{32}}}{16}$

Passaggio 6.2.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.6.1

Dividi $0$ per $32$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- 0}}{16}$

Passaggio 6.2.1.6.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{0}}{16}$

Passaggio 6.2.1.6.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{1}{16}$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $\frac{1}{16}$ da $0$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{16}$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- \frac{1}{16}$ .

$- \frac{1}{16}$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- 4, 4)$ perché $f'' (0)$ è negativo.

Funzione concava su $(- 4, 4)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 7

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(4, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f'' (6) = \frac{{(6)}^{2} e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Sposta $e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (6) = \frac{{(6)}^{2}}{256 e^{\frac{6^{2}}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f'' (6) = \frac{6^{2}}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 7.2.1.4

Elimina il fattore comune di $36$ e $32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.4.1

Scomponi $4$ da $36$ .

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 (9)}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 7.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.4.2.1

Scomponi $4$ da $32$ .

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 7.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 7.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 7.2.1.5

Scomponi $4$ da $36$ .

$f'' (6) = \frac{4 (9)}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 7.2.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.6.1

Scomponi $4$ da $256 e^{\frac{9}{8}}$ .

$f'' (6) = \frac{4 (9)}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 7.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (6) = \frac{4 \cdot 9}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 7.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Passaggio 7.2.1.7

Sposta $e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{6^{2}}{32}}}$

Passaggio 7.2.1.8

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{36}{32}}}$

Passaggio 7.2.1.9

Elimina il fattore comune di $36$ e $32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.9.1

Scomponi $4$ da $36$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 (9)}{32}}}$

Passaggio 7.2.1.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.9.2.1

Scomponi $4$ da $32$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

Passaggio 7.2.1.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

Passaggio 7.2.1.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$

Passaggio 7.2.2

Per scrivere $- \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 7.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $64 e^{\frac{9}{8}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{16 e^{\frac{9}{8}} \cdot 4}$

Passaggio 7.2.3.2

Moltiplica $4$ per $16$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Passaggio 7.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (6) = \frac{9 - 4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Passaggio 7.2.5

Sottrai $4$ da $9$ .

$f'' (6) = \frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Passaggio 7.2.6

La risposta finale è $\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$ .

$\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Passaggio 7.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(4, \infty)$ perché $f'' (6)$ è positivo.

Funzione convessa su $(4, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 8

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione convessa su $(- \infty, - 4)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(- 4, 4)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(4, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 9