Calcolo Esempi

$y = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}$

Passaggio 1

Riscrivi il lato destro con esponenti razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x^{\frac{1}{2}} - 1}{\sqrt{x} + 1}$

Passaggio 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}} + 1}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}} + 1})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 1$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 1] - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{\frac{1}{2}} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.7.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.7.3

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.9

Somma $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{\frac{1}{2}} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.12

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.13

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.15

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.15.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.15.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.16

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.16.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.16.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.16.3

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.17

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.18

Somma $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.19

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.19.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.19.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (- x^{\frac{1}{2}} - - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.19.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.19.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.19.4.1

Combina i termini opposti in $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.19.4.1.1

Sottrai $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ da $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0 - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.19.4.1.2

Somma $1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.19.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.19.4.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.19.4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.19.4.2.3

Moltiplica $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.19.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{1 + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.19.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.19.4.5

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.19.4.6

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.19.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.19.5.1

Riscrivi $\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$ come un prodotto.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.19.5.2

Moltiplica $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$