Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{x}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Passaggio 1.1.1.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.1.2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.2.4

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.2.2.6.1

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $0$ .

$2 x^{- 3} + 0$

Passaggio 1.1.2.2.6.2

Somma $2 x^{- 3}$ e $0$ .

$2 x^{- 3}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.2.3.2

$2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{2}{x^{3}} = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 = 0$

Passaggio 1.2.3

Poiché $2 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 2

Trova il dominio di $f (x) = \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 2.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 2.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f'' (- 2) = \frac{2}{{(- 2)}^{3}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ e ${(- 2)}^{3}$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 2}{{(- 2)}^{3}}$

Passaggio 4.2.1.2

Scomponi $- 2$ da $- 1 (- 2)$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{3}}$

Passaggio 4.2.1.3

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.2.1.3.1

Scomponi $- 2$ da ${(- 2)}^{3}$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- 2) = \frac{- 1}{{(- 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 4.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 2) = - \frac{1}{4}$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, 0)$ perché $f'' (- 2)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, 0)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f'' (2) = \frac{2}{{(2)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ e ${(2)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f'' (2) = \frac{2 (1)}{{(2)}^{3}}$

Passaggio 5.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Scomponi $2$ da ${(2)}^{3}$ .

$f'' (2) = \frac{2 (1)}{2 \cdot 2^{2}}$

Passaggio 5.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2^{2}}$

Passaggio 5.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (2) = \frac{1}{2^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(0, \infty)$ perché $f'' (2)$ è positivo.

Funzione convessa su $(0, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione concava su $(- \infty, 0)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(0, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 7