Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Riscrivi $\frac{1}{1 + x^{2}}$ come ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(1 + x^{2})}^{- 1})$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Passaggio 1.1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + x^{2}$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 1.1.1.3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 1.1.1.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}$

Passaggio 1.1.1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Passaggio 1.1.1.3.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = - 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

Passaggio 1.1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

Passaggio 1.1.1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

Passaggio 1.1.1.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

Passaggio 1.1.1.4.2.3

$x$ e $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.4.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(1 + x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.3.3

Moltiplica ${(1 + x^{2})}^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Scomponi $1 + x^{2}$ da ${(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.2.1

Scomponi $1 + x^{2}$ da ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.2.2

Scomponi $1 + x^{2}$ da $- 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.2.3

Scomponi $1 + x^{2}$ da $(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Scomponi $1 + x^{2}$ da ${(1 + x^{2})}^{4}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.9

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x \frac{d}{d x} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.11

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.13

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.14

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.15

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.16

Sottrai $4 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.17

$- 2$ e $\frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.18

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{(2) (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.19

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.19.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot 1 + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.19.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.19.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.19.2.2

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 - 6 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.19.3

Scomponi $2$ da $2 - 6 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.19.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (1) - 6 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.19.3.2

Scomponi $2$ da $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (1) + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.19.3.3

Scomponi $2$ da $2 (1) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$ .

$- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 (1 - 3 x^{2}) = 0$

Passaggio 1.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (1 - 3 x^{2}) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (1 - 3 x^{2}) = 0$ .

$\frac{2 (1 - 3 x^{2})}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (1 - 3 x^{2})}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 1.2.3.1.2.1.2

Dividi $1 - 3 x^{2}$ per $1$ .

$1 - 3 x^{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 1.2.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$1 - 3 x^{2} = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 x^{2} = - 1$

Passaggio 1.2.3.3

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{2} = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{2} = - 1$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Passaggio 1.2.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Passaggio 1.2.3.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

Passaggio 1.2.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Passaggio 1.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1.2.3.5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{3}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 1.2.3.5.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Passaggio 1.2.3.5.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 1.2.3.5.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 1.2.3.5.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 1.2.3.5.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 1.2.3.5.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 1.2.3.5.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 1.2.3.5.4.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.2.3.5.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.3.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.2.3.5.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.2.3.5.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 1.2.3.5.4.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 1.2.3.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 1.2.3.6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 1.2.3.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2

Trova il dominio di $f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{1 + x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$1 + x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 1$

Passaggio 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i$

Passaggio 2.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i$

Passaggio 2.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i$

Passaggio 2.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i, - i$

Passaggio 2.3

Il dominio è l'insieme di numeri reali.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 - 3 {(- 3)}^{2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $- 3$ per ${(- 3)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $- 3$ per ${(- 3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $1$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + (- 3) {(- 3)}^{2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Passaggio 4.2.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + {(- 3)}^{1 + 2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Passaggio 4.2.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + {(- 3)}^{3})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 - 27)}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $27$ da $1$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 9)}^{3}}$

Passaggio 4.2.3.2

Somma $1$ e $9$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{10^{3}}$

Passaggio 4.2.3.3

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{1000}$

Passaggio 4.2.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Moltiplica $2$ per $- 26$ .

$f'' (- 3) = - \frac{- 52}{1000}$

Passaggio 4.2.4.2

Elimina il fattore comune di $- 52$ e $1000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.1

Scomponi $4$ da $- 52$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 (- 13)}{1000}$

Passaggio 4.2.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.2.1

Scomponi $4$ da $1000$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

Passaggio 4.2.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

Passaggio 4.2.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- 3) = - \frac{- 13}{250}$

Passaggio 4.2.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 3) = \frac{13}{250}$

Passaggio 4.2.5

La risposta finale è $\frac{13}{250}$ .

$\frac{13}{250}$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ perché $f'' (- 3)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = - \frac{2 (1 - 3 {(0)}^{2})}{{(1 + {(0)}^{2})}^{3}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (1 - 3 \cdot 0)}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (1 + 0)}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

Passaggio 5.2.1.3

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{{(1 + 0)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{1^{3}}$

Passaggio 5.2.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{1}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2}{1}$

Passaggio 5.2.3.2

Dividi $2$ per $1$ .

$f'' (0) = - 1 \cdot 2$

Passaggio 5.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (0) = - 2$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ perché $f'' (0)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 3 {(3)}^{2})}{{(1 + {(3)}^{2})}^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 3 \cdot 9)}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $9$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 27)}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.3

Sottrai $27$ da $1$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 9)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $1$ e $9$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{10^{3}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{1000}$

Passaggio 6.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Moltiplica $2$ per $- 26$ .

$f'' (3) = - \frac{- 52}{1000}$

Passaggio 6.2.3.2

Elimina il fattore comune di $- 52$ e $1000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1

Scomponi $4$ da $- 52$ .

$f'' (3) = - \frac{4 (- 13)}{1000}$

Passaggio 6.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $1000$ .

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

Passaggio 6.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

Passaggio 6.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (3) = - \frac{- 13}{250}$

Passaggio 6.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (3) = \frac{13}{250}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $\frac{13}{250}$ .

$\frac{13}{250}$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ perché $f'' (3)$ è positivo.

Funzione convessa su $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 7

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione convessa su $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 8