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Calcolo Esempi
Passaggio 1
Passaggio 1.1
Trova la derivata seconda.
Passaggio 1.1.1
Trova la derivata prima.
Passaggio 1.1.1.1
Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che è dove e .
Passaggio 1.1.1.2
Differenzia.
Passaggio 1.1.1.2.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.1.2.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.1.1.2.3
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.1.2.4
Semplifica l'espressione.
Passaggio 1.1.1.2.4.1
Somma e .
Passaggio 1.1.1.2.4.2
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 1.1.1.2.5
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.1.2.6
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.1.1.2.7
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.1.2.8
Semplifica l'espressione.
Passaggio 1.1.1.2.8.1
Somma e .
Passaggio 1.1.1.2.8.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.1.3
Semplifica.
Passaggio 1.1.1.3.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.1.1.3.2
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.1.1.3.3
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.1.1.3.4
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.1.1.3.5
Semplifica il numeratore.
Passaggio 1.1.1.3.5.1
Combina i termini opposti in .
Passaggio 1.1.1.3.5.1.1
Sottrai da .
Passaggio 1.1.1.3.5.1.2
Somma e .
Passaggio 1.1.1.3.5.2
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 1.1.1.3.5.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.1.3.5.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.1.3.5.3
Sottrai da .
Passaggio 1.1.1.3.6
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 1.1.1.3.7
Semplifica il denominatore.
Passaggio 1.1.1.3.7.1
Riscrivi come .
Passaggio 1.1.1.3.7.2
Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, dove e .
Passaggio 1.1.1.3.7.3
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 1.1.2
Trova la derivata seconda.
Passaggio 1.1.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.2.2
Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che è dove e .
Passaggio 1.1.2.3
Differenzia usando la regola di potenza.
Passaggio 1.1.2.3.1
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.1.2.3.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.4
Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che è dove e .
Passaggio 1.1.2.5
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Passaggio 1.1.2.5.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 1.1.2.5.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.1.2.5.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 1.1.2.6
Differenzia.
Passaggio 1.1.2.6.1
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 1.1.2.6.2
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.2.6.3
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.1.2.6.4
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.2.6.5
Semplifica l'espressione.
Passaggio 1.1.2.6.5.1
Somma e .
Passaggio 1.1.2.6.5.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.7
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Passaggio 1.1.2.7.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 1.1.2.7.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.1.2.7.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 1.1.2.8
Differenzia.
Passaggio 1.1.2.8.1
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 1.1.2.8.2
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.2.8.3
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.1.2.8.4
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.2.8.5
Riduci le frazioni.
Passaggio 1.1.2.8.5.1
Somma e .
Passaggio 1.1.2.8.5.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.8.5.3
e .
Passaggio 1.1.2.8.5.4
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 1.1.2.9
Semplifica.
Passaggio 1.1.2.9.1
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 1.1.2.9.2
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.1.2.9.3
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.1.2.9.4
Semplifica il numeratore.
Passaggio 1.1.2.9.4.1
Scomponi da .
Passaggio 1.1.2.9.4.1.1
Scomponi da .
Passaggio 1.1.2.9.4.1.2
Scomponi da .
Passaggio 1.1.2.9.4.1.3
Scomponi da .
Passaggio 1.1.2.9.4.1.4
Scomponi da .
Passaggio 1.1.2.9.4.1.5
Scomponi da .
Passaggio 1.1.2.9.4.2
Raccogli gli esponenti.
Passaggio 1.1.2.9.4.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.9.4.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.9.4.3
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 1.1.2.9.4.3.1
Espandi usando il metodo FOIL.
Passaggio 1.1.2.9.4.3.1.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.1.2.9.4.3.1.2
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.1.2.9.4.3.1.3
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.1.2.9.4.3.2
Combina i termini opposti in .
Passaggio 1.1.2.9.4.3.2.1
Riordina i fattori nei termini di e .
Passaggio 1.1.2.9.4.3.2.2
Somma e .
Passaggio 1.1.2.9.4.3.2.3
Somma e .
Passaggio 1.1.2.9.4.3.3
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 1.1.2.9.4.3.3.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.9.4.3.3.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.9.4.3.4
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.1.2.9.4.3.5
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Passaggio 1.1.2.9.4.3.5.1
Sposta .
Passaggio 1.1.2.9.4.3.5.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.9.4.3.6
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.9.4.3.7
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.1.2.9.4.3.8
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Passaggio 1.1.2.9.4.3.8.1
Sposta .
Passaggio 1.1.2.9.4.3.8.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.9.4.3.9
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.9.4.4
Combina i termini opposti in .
Passaggio 1.1.2.9.4.4.1
Somma e .
Passaggio 1.1.2.9.4.4.2
Somma e .
Passaggio 1.1.2.9.4.5
Sottrai da .
Passaggio 1.1.2.9.4.6
Sottrai da .
Passaggio 1.1.2.9.5
Raccogli i termini.
Passaggio 1.1.2.9.5.1
Moltiplica gli esponenti in .
Passaggio 1.1.2.9.5.1.1
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 1.1.2.9.5.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.9.5.2
Moltiplica gli esponenti in .
Passaggio 1.1.2.9.5.2.1
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 1.1.2.9.5.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.9.5.3
Elimina il fattore comune di e .
Passaggio 1.1.2.9.5.3.1
Scomponi da .
Passaggio 1.1.2.9.5.3.2
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 1.1.2.9.5.3.2.1
Scomponi da .
Passaggio 1.1.2.9.5.3.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 1.1.2.9.5.3.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 1.1.2.9.5.4
Elimina il fattore comune di e .
Passaggio 1.1.2.9.5.4.1
Scomponi da .
Passaggio 1.1.2.9.5.4.2
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 1.1.2.9.5.4.2.1
Scomponi da .
Passaggio 1.1.2.9.5.4.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 1.1.2.9.5.4.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 1.1.2.9.6
Scomponi da .
Passaggio 1.1.2.9.7
Riscrivi come .
Passaggio 1.1.2.9.8
Scomponi da .
Passaggio 1.1.2.9.9
Riscrivi come .
Passaggio 1.1.2.9.10
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 1.1.2.9.11
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.9.12
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.3
La derivata seconda di rispetto a è .
Passaggio 1.2
Imposta la derivata seconda pari a , quindi risolvi l'equazione .
Passaggio 1.2.1
Imposta la derivata seconda uguale a .
Passaggio 1.2.2
Poni il numeratore uguale a zero.
Passaggio 1.2.3
Risolvi l'equazione per .
Passaggio 1.2.3.1
Dividi per ciascun termine in e semplifica.
Passaggio 1.2.3.1.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 1.2.3.1.2
Semplifica il lato sinistro.
Passaggio 1.2.3.1.2.1
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 1.2.3.1.2.1.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 1.2.3.1.2.1.2
Dividi per .
Passaggio 1.2.3.1.3
Semplifica il lato destro.
Passaggio 1.2.3.1.3.1
Dividi per .
Passaggio 1.2.3.2
Sottrai da entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 1.2.3.3
Dividi per ciascun termine in e semplifica.
Passaggio 1.2.3.3.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 1.2.3.3.2
Semplifica il lato sinistro.
Passaggio 1.2.3.3.2.1
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 1.2.3.3.2.1.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 1.2.3.3.2.1.2
Dividi per .
Passaggio 1.2.3.3.3
Semplifica il lato destro.
Passaggio 1.2.3.3.3.1
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 1.2.3.4
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Passaggio 1.2.3.5
Semplifica .
Passaggio 1.2.3.5.1
Riscrivi come .
Passaggio 1.2.3.5.1.1
Riscrivi come .
Passaggio 1.2.3.5.1.2
Riscrivi come .
Passaggio 1.2.3.5.2
Estrai i termini dal radicale.
Passaggio 1.2.3.5.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 1.2.3.5.4
Riscrivi come .
Passaggio 1.2.3.5.5
Semplifica il numeratore.
Passaggio 1.2.3.5.5.1
Riscrivi come .
Passaggio 1.2.3.5.5.2
Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.
Passaggio 1.2.3.5.6
Moltiplica per .
Passaggio 1.2.3.5.7
Combina e semplifica il denominatore.
Passaggio 1.2.3.5.7.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.2.3.5.7.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 1.2.3.5.7.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 1.2.3.5.7.4
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 1.2.3.5.7.5
Somma e .
Passaggio 1.2.3.5.7.6
Riscrivi come .
Passaggio 1.2.3.5.7.6.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 1.2.3.5.7.6.2
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 1.2.3.5.7.6.3
e .
Passaggio 1.2.3.5.7.6.4
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 1.2.3.5.7.6.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 1.2.3.5.7.6.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 1.2.3.5.7.6.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 1.2.3.5.8
e .
Passaggio 1.2.3.5.9
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 1.2.3.6
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Passaggio 1.2.3.6.1
Per prima cosa, utilizza il valore positivo di per trovare la prima soluzione.
Passaggio 1.2.3.6.2
Ora, utilizza il valore negativo del per trovare la seconda soluzione.
Passaggio 1.2.3.6.3
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Passaggio 2
Passaggio 2.1
Imposta il denominatore in in modo che sia uguale a per individuare dove l'espressione è indefinita.
Passaggio 2.2
Risolvi per .
Passaggio 2.2.1
Somma a entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 2.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Passaggio 2.2.3
Semplifica .
Passaggio 2.2.3.1
Riscrivi come .
Passaggio 2.2.3.2
Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.
Passaggio 2.2.4
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Passaggio 2.2.4.1
Per prima cosa, utilizza il valore positivo di per trovare la prima soluzione.
Passaggio 2.2.4.2
Ora, utilizza il valore negativo del per trovare la seconda soluzione.
Passaggio 2.2.4.3
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Passaggio 2.3
Il dominio è formato da tutti i valori di che rendono definita l'espressione.
Notazione degli intervalli:
Notazione intensiva:
Notazione degli intervalli:
Notazione intensiva:
Passaggio 3
Crea intervalli attorno ai valori di per cui la derivata seconda è zero o indefinita.
Passaggio 4
Passaggio 4.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 4.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 4.2.1
Semplifica il numeratore.
Passaggio 4.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 4.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.2.1.3
Somma e .
Passaggio 4.2.2
Semplifica il denominatore.
Passaggio 4.2.2.1
Somma e .
Passaggio 4.2.2.2
Sottrai da .
Passaggio 4.2.2.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 4.2.2.4
Eleva alla potenza di .
Passaggio 4.2.3
Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.
Passaggio 4.2.3.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.2.3.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.2.3.3
Elimina il fattore comune di e .
Passaggio 4.2.3.3.1
Scomponi da .
Passaggio 4.2.3.3.2
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 4.2.3.3.2.1
Scomponi da .
Passaggio 4.2.3.3.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 4.2.3.3.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 4.2.4
La risposta finale è .
Passaggio 4.3
Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo perché è positivo.
Funzione convessa su poiché è positivo
Funzione convessa su poiché è positivo
Passaggio 5
Passaggio 5.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 5.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 5.2.1
Semplifica il numeratore.
Passaggio 5.2.1.1
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 5.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.2.1.3
Somma e .
Passaggio 5.2.2
Semplifica il denominatore.
Passaggio 5.2.2.1
Riscrivi come .
Passaggio 5.2.2.2
Riscrivi come .
Passaggio 5.2.2.3
Scomponi da .
Passaggio 5.2.2.4
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 5.2.2.5
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.2.2.6
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Passaggio 5.2.2.6.1
Sposta .
Passaggio 5.2.2.6.2
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 5.2.2.6.3
Somma e .
Passaggio 5.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 5.2.4
Semplifica il denominatore.
Passaggio 5.2.4.1
Sottrai da .
Passaggio 5.2.4.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.2.5
Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.
Passaggio 5.2.5.1
Moltiplica per .
Passaggio 5.2.5.2
Elimina il fattore comune di e .
Passaggio 5.2.5.2.1
Scomponi da .
Passaggio 5.2.5.2.2
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 5.2.5.2.2.1
Scomponi da .
Passaggio 5.2.5.2.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.2.5.2.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 5.2.5.3
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 5.2.6
La risposta finale è .
Passaggio 5.3
Il grafico è una funzione concava sull'intervallo perché è negativo.
Funzione concava su poiché è negativo
Funzione concava su poiché è negativo
Passaggio 6
Passaggio 6.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 6.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 6.2.1
Semplifica il numeratore.
Passaggio 6.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 6.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 6.2.1.3
Somma e .
Passaggio 6.2.2
Semplifica il denominatore.
Passaggio 6.2.2.1
Somma e .
Passaggio 6.2.2.2
Sottrai da .
Passaggio 6.2.2.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 6.2.2.4
Eleva alla potenza di .
Passaggio 6.2.3
Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.
Passaggio 6.2.3.1
Moltiplica per .
Passaggio 6.2.3.2
Moltiplica per .
Passaggio 6.2.3.3
Elimina il fattore comune di e .
Passaggio 6.2.3.3.1
Scomponi da .
Passaggio 6.2.3.3.2
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 6.2.3.3.2.1
Scomponi da .
Passaggio 6.2.3.3.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 6.2.3.3.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 6.2.4
La risposta finale è .
Passaggio 6.3
Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo perché è positivo.
Funzione convessa su poiché è positivo
Funzione convessa su poiché è positivo
Passaggio 7
Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.
Funzione convessa su poiché è positivo
Funzione concava su poiché è negativo
Funzione convessa su poiché è positivo
Passaggio 8