Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = {(x - 4)}^{2}$ e $g (x) = {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{2}] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 2)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{2}] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.1.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{2}] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x - 4$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x - 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 4$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x - 2)}^{2} (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.4.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) (1 + 0) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) \cdot 1 - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.4.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x - 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x - 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} (2 (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.6.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.6.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.6.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.6.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) (1 + 0))}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.6.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.6.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) \cdot 1)}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.6.5.2

Moltiplica $x - 2$ per $1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.7.1.1

Scomponi $2 (x - 2) (x - 4)$ da $2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.7.1.1.1

Scomponi $2 (x - 2) (x - 4)$ da $2 {(x - 2)}^{2} (x - 4)$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2) - 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.7.1.1.2

Scomponi $2 (x - 2) (x - 4)$ da $- 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2) + 2 (x - 2) (x - 4) (- (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.7.1.1.3

Scomponi $2 (x - 2) (x - 4)$ da $2 (x - 2) (x - 4) (x - 2) + 2 (x - 2) (x - 4) (- (x - 4))$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2 - (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.7.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2 - x - - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.7.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2 - x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.7.1.4

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (0 - 2 + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.7.1.5

Sottrai $2$ da $0$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (- 2 + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.7.1.6

Somma $- 2$ e $4$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) \cdot 2}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.7.1.7

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 (x - 2) (x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.7.2

Elimina il fattore comune di $x - 2$ e ${(x - 2)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.7.2.1

Scomponi $x - 2$ da $4 (x - 2) (x - 4)$ .

$\frac{(x - 2) (4 (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.1.7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.7.2.2.1

Scomponi $x - 2$ da ${(x - 2)}^{4}$ .

$\frac{(x - 2) (4 (x - 4))}{(x - 2) {(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 1.1.1.7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 2) (4 (x - 4))}{(x - 2) {(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 1.1.1.7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{4 (x - 4)}{{(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 (x - 4)}{{(x - 2)}^{3}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{{(x - 2)}^{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{{(x - 2)}^{3}}]$

Passaggio 1.1.2.2

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{({(x - 2)}^{3})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 2)}^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 1.1.2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 1.1.2.3.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 1.1.2.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 1.1.2.3.5.2

Moltiplica ${(x - 2)}^{3}$ per $1$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 2$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 1.1.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 2$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Scomponi ${(x - 2)}^{2}$ da ${(x - 2)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.2.1

Scomponi ${(x - 2)}^{2}$ da ${(x - 2)}^{3}$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2) - 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 1.1.2.5.2.2

Scomponi ${(x - 2)}^{2}$ da $- 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 1.1.2.5.2.3

Scomponi ${(x - 2)}^{2}$ da ${(x - 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

Passaggio 1.1.2.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Scomponi ${(x - 2)}^{2}$ da ${(x - 2)}^{6}$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.9

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.10.1

Somma $1$ e $0$ .

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) \cdot 1}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.10.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.10.3

$4$ e $\frac{x - 2 - 3 (x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$ .

$\frac{4 (x - 2 - 3 (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (x - 2 - 3 x - 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x + 4 \cdot - 2 + 4 (- 3 x) + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.11.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.11.3.1.1

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$\frac{4 x - 8 + 4 (- 3 x) + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.3.1.2

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$\frac{4 x - 8 - 12 x + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.3.1.3

Moltiplica $4 (- 3 \cdot - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.11.3.1.3.1

Moltiplica $- 3$ per $- 4$ .

$\frac{4 x - 8 - 12 x + 4 \cdot 12}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.3.1.3.2

Moltiplica $4$ per $12$ .

$\frac{4 x - 8 - 12 x + 48}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.3.2

Sottrai $12 x$ da $4 x$ .

$\frac{- 8 x - 8 + 48}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.3.3

Somma $- 8$ e $48$ .

$\frac{- 8 x + 40}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.4

Scomponi $8$ da $- 8 x + 40$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.11.4.1

Scomponi $8$ da $- 8 x$ .

$\frac{8 (- x) + 40}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.4.2

Scomponi $8$ da $40$ .

$\frac{8 (- x) + 8 (5)}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.4.3

Scomponi $8$ da $8 (- x) + 8 (5)$ .

$\frac{8 (- x + 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.5

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{8 (- (x) + 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.6

Riscrivi $5$ come $- 1 (- 5)$ .

$\frac{8 (- (x) - 1 (- 5))}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.7

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 5)$ .

$\frac{8 (- (x - 5))}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.8

Riscrivi $- (x - 5)$ come $- 1 (x - 5)$ .

$\frac{8 (- 1 (x - 5))}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.11.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}}$ .

$- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$8 (x - 5) = 0$

Passaggio 1.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 (x - 5) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 (x - 5) = 0$ .

$\frac{8 (x - 5)}{8} = \frac{0}{8}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 (x - 5)}{8} = \frac{0}{8}$

Passaggio 1.2.3.1.2.1.2

Dividi $x - 5$ per $1$ .

$x - 5 = \frac{0}{8}$

Passaggio 1.2.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.3.1

Dividi $0$ per $8$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 2

Trova il dominio di $f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta il denominatore in $\frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poni $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 2}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 2}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, 2) \cup (2, 5) \cup (5, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, 2)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = - \frac{8 ((0) - 5)}{{((0) - 2)}^{4}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $5$ da $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{{(0 - 2)}^{4}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sottrai $2$ da $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{{(- 2)}^{4}}$

Passaggio 4.2.2.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{16}$

Passaggio 4.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Moltiplica $8$ per $- 5$ .

$f'' (0) = - \frac{- 40}{16}$

Passaggio 4.2.3.2

Elimina il fattore comune di $- 40$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Scomponi $8$ da $- 40$ .

$f'' (0) = - \frac{8 (- 5)}{16}$

Passaggio 4.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.2.1

Scomponi $8$ da $16$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (0) = - \frac{- 5}{2}$

Passaggio 4.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (0) = \frac{5}{2}$

Passaggio 4.2.4

La risposta finale è $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, 2)$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, 2)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(2, 5)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f'' (4) = - \frac{8 ((4) - 5)}{{((4) - 2)}^{4}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $5$ da $4$ .

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{{(4 - 2)}^{4}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $2$ da $4$ .

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{2^{4}}$

Passaggio 5.2.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{16}$

Passaggio 5.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$f'' (4) = - \frac{- 8}{16}$

Passaggio 5.2.3.2

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Scomponi $8$ da $- 8$ .

$f'' (4) = - \frac{8 (- 1)}{16}$

Passaggio 5.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.2.1

Scomponi $8$ da $16$ .

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 2}$

Passaggio 5.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 2}$

Passaggio 5.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (4) = - \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (4) = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(2, 5)$ perché $f'' (4)$ è positivo.

Funzione convessa su $(2, 5)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(5, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $8$ nell'espressione.

$f'' (8) = - \frac{8 ((8) - 5)}{{((8) - 2)}^{4}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sottrai $5$ da $8$ .

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 3}{{(8 - 2)}^{4}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $2$ da $8$ .

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 3}{6^{4}}$

Passaggio 6.2.2.2

Eleva $6$ alla potenza di $4$ .

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 3}{1296}$

Passaggio 6.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Moltiplica $8$ per $3$ .

$f'' (8) = - \frac{24}{1296}$

Passaggio 6.2.3.2

Elimina il fattore comune di $24$ e $1296$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1

Scomponi $24$ da $24$ .

$f'' (8) = - \frac{24 (1)}{1296}$

Passaggio 6.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.2.1

Scomponi $24$ da $1296$ .

$f'' (8) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 54}$

Passaggio 6.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (8) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 54}$

Passaggio 6.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (8) = - \frac{1}{54}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $- \frac{1}{54}$ .

$- \frac{1}{54}$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(5, \infty)$ perché $f'' (8)$ è negativo.

Funzione concava su $(5, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 7

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione convessa su $(- \infty, 2)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione convessa su $(2, 5)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(5, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 8