Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

$2 \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 \frac{(x^{2} + 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 3$ .

$2 \frac{2 \cdot (x^{2} + 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.6

Somma $1$ e $2$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.7

$2$ e $\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{2 (2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 ((2 x^{2} + 2 \cdot 3) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (2 x^{2} x) + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.8.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.8.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.8.4.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.8.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.8.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.8.4.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (2 (x^{1} x^{2})) + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.8.4.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 (2 x^{1 + 2}) + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.8.4.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3}) + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.8.4.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.8.4.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{4 x^{3} + 2 (6 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.8.4.1.4

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 12 x + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.8.4.1.5

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 12 x - 4 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.8.4.2

Combina i termini opposti in $4 x^{3} + 12 x - 4 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.8.4.2.1

Sottrai $4 x^{3}$ da $4 x^{3}$ .

$\frac{12 x + 0}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.8.4.2.2

Somma $12 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{12 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$

Passaggio 1.1.2.2

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.3.3

Moltiplica ${(x^{2} + 3)}^{2}$ per $1$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 3$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 3$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Scomponi $x^{2} + 3$ da ${(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.2.1

Scomponi $x^{2} + 3$ da ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.2.2

Scomponi $x^{2} + 3$ da $- 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

$12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.2.3

Scomponi $x^{2} + 3$ da $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ .

$12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Scomponi $x^{2} + 3$ da ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.9

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.10.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$12 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.14

Somma $1$ e $1$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.15

Sottrai $4 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$12 \frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.16

$12$ e $\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{12 (- 3 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.17.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 (- 3 x^{2}) + 12 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.17.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.17.2.1

Moltiplica $- 3$ per $12$ .

$\frac{- 36 x^{2} + 12 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.17.2.2

Moltiplica $12$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$- 36 x^{2} + 36 = 0$

Passaggio 1.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sottrai $36$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 36 x^{2} = - 36$

Passaggio 1.2.3.2

Dividi per $- 36$ ciascun termine in $- 36 x^{2} = - 36$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Dividi per $- 36$ ciascun termine in $- 36 x^{2} = - 36$ .

$\frac{- 36 x^{2}}{- 36} = \frac{- 36}{- 36}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 36 x^{2}}{- 36} = \frac{- 36}{- 36}$

Passaggio 1.2.3.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 36}{- 36}$

Passaggio 1.2.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.3.1

Dividi $- 36$ per $- 36$ .

$x^{2} = 1$

Passaggio 1.2.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 1.2.3.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 1.2.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 1.2.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 1.2.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 2

Trova il dominio di $f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta il denominatore in $\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} + 3 = 0$

Passaggio 2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 3$

Passaggio 2.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Passaggio 2.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Passaggio 2.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 2.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i \sqrt{3}$

Passaggio 2.2.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i \sqrt{3}$

Passaggio 2.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Passaggio 2.3

Il dominio è l'insieme di numeri reali.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f'' (- 4) = \frac{- 36 {(- 4)}^{2} + 36}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 36 \cdot 16 + 36}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- 36$ per $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 576 + 36}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 4.2.1.3

Somma $- 576$ e $36$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 540}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 540}{{(16 + 3)}^{3}}$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $16$ e $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 540}{19^{3}}$

Passaggio 4.2.2.3

Eleva $19$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 540}{6859}$

Passaggio 4.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 4) = - \frac{540}{6859}$

Passaggio 4.2.4

La risposta finale è $- \frac{540}{6859}$ .

$- \frac{540}{6859}$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, - 1)$ perché $f'' (- 4)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, - 1)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- 1, 1)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = \frac{- 36 {(0)}^{2} + 36}{{({(0)}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 36 \cdot 0 + 36}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 36$ per $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 36}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 5.2.1.3

Somma $0$ e $36$ .

$f'' (0) = \frac{36}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = \frac{36}{{(0 + 3)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $0$ e $3$ .

$f'' (0) = \frac{36}{3^{3}}$

Passaggio 5.2.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0) = \frac{36}{27}$

Passaggio 5.2.3

Elimina il fattore comune di $36$ e $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Scomponi $9$ da $36$ .

$f'' (0) = \frac{9 (4)}{27}$

Passaggio 5.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot 3}$

Passaggio 5.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot 3}$

Passaggio 5.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (0) = \frac{4}{3}$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- 1, 1)$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- 1, 1)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f'' (4) = \frac{- 36 {(4)}^{2} + 36}{{({(4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (4) = \frac{- 36 \cdot 16 + 36}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 36$ per $16$ .

$f'' (4) = \frac{- 576 + 36}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.3

Somma $- 576$ e $36$ .

$f'' (4) = \frac{- 540}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (4) = \frac{- 540}{{(16 + 3)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $16$ e $3$ .

$f'' (4) = \frac{- 540}{19^{3}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $19$ alla potenza di $3$ .

$f'' (4) = \frac{- 540}{6859}$

Passaggio 6.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (4) = - \frac{540}{6859}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $- \frac{540}{6859}$ .

$- \frac{540}{6859}$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(1, \infty)$ perché $f'' (4)$ è negativo.

Funzione concava su $(1, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 7

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione concava su $(- \infty, - 1)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(- 1, 1)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(1, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 8