Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{3}$

Passaggio 1

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{3}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Usa il teorema binomiale.

$f (x + h) = 2 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

Passaggio 2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2} h) + 2 (3 x h^{2}) + 2 h^{3}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 (x^{2} h) + 2 (3 x h^{2}) + 2 h^{3}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 (x^{2} h) + 6 (x h^{2}) + 2 h^{3}$

Passaggio 2.1.2.4

Rimuovi le parentesi.

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Passaggio 2.1.2.5

La risposta finale è $2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$ .

$2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Passaggio 2.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$2 x^{3} + 6 h x^{2} + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Passaggio 2.2.2

Sposta $x$ .

$2 x^{3} + 6 h x^{2} + 6 h^{2} x + 2 h^{3}$

Passaggio 2.2.3

Sposta $2 x^{3}$ .

$6 h x^{2} + 6 h^{2} x + 2 h^{3} + 2 x^{3}$

Passaggio 2.2.4

Sposta $6 h x^{2}$ .

$6 h^{2} x + 2 h^{3} + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

Passaggio 2.2.5

Riordina $6 h^{2} x$ e $2 h^{3}$ .

$2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

Passaggio 2.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3}$

$f (x + h) = 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - (2 x^{3})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 x^{3}}{h}$

Passaggio 4.1.2

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 0}{h}$

Passaggio 4.1.3

Somma $2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.4

Scomponi $2 h$ da $2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Scomponi $2 h$ da $2 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.4.2

Scomponi $2 h$ da $6 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x) + 6 h x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.4.3

Scomponi $2 h$ da $6 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x) + 2 h (3 x^{2})}{h}$

Passaggio 4.1.4.4

Scomponi $2 h$ da $2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x) + 2 h (3 x^{2})}{h}$

Passaggio 4.1.4.5

Scomponi $2 h$ da $2 h (h^{2} + 3 h x) + 2 h (3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Passaggio 4.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $2 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$

Passaggio 4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 2 (3 h x) + 2 (3 x^{2})$

Passaggio 4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 (h x) + 2 (3 x^{2})$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 (h x) + 6 x^{2}$

Passaggio 4.4

Sposta $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 x h + 6 x^{2}$

Passaggio 4.5

Sposta $2 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x h + 6 x^{2} + 2 h^{2}$

Passaggio 4.6

Riordina $6 x h$ e $6 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x^{2} + 6 x h + 2 h^{2}$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$lim_{h \to 0} 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

Passaggio 6

Calcola il limite di $6 x^{2}$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

Passaggio 7

Sposta il termine $6 x$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

Passaggio 8

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 lim_{h \to 0} h^{2}$

Passaggio 9

Sposta l'esponente $2$ da $h^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Passaggio 10

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$6 x^{2} + 6 x \cdot 0 + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Passaggio 10.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$6 x^{2} + 6 x \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2}$

Passaggio 11

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Moltiplica $6 x \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1.1

Moltiplica $0$ per $6$ .

$6 x^{2} + 0 x + 2 \cdot 0^{2}$

Passaggio 11.1.1.2

Moltiplica $0$ per $x$ .

$6 x^{2} + 0 + 2 \cdot 0^{2}$

Passaggio 11.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$6 x^{2} + 0 + 2 \cdot 0$

Passaggio 11.1.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$6 x^{2} + 0 + 0$

Passaggio 11.2

Combina i termini opposti in $6 x^{2} + 0 + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Somma $6 x^{2}$ e $0$ .

$6 x^{2} + 0$

Passaggio 11.2.2

Somma $6 x^{2}$ e $0$ .

$6 x^{2}$

Passaggio 12