Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{2}$

Passaggio 1

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{2}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi ${(x + h)}^{2}$ come $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 3 ((x + h) (x + h))$

Passaggio 2.1.2.2

Espandi $(x + h) (x + h)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 3 (x (x + h) + h (x + h))$

Passaggio 2.1.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Passaggio 2.1.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Passaggio 2.1.2.3.1.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Passaggio 2.1.2.3.2

Somma $x h$ e $h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.2.1

Riordina $x$ e $h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Passaggio 2.1.2.3.2.2

Somma $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Passaggio 2.1.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2}$

Passaggio 2.1.2.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$

Passaggio 2.1.2.6

La risposta finale è $3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$ .

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$

Passaggio 2.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta $3 x^{2}$ .

$6 h x + 3 h^{2} + 3 x^{2}$

Passaggio 2.2.2

Riordina $6 h x$ e $3 h^{2}$ .

$3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

Passaggio 2.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

$f (x) = 3 x^{2}$

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

$f (x) = 3 x^{2}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - (3 x^{2})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - 3 x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.2

Sottrai $3 x^{2}$ da $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 0}{h}$

Passaggio 4.1.3

Somma $3 h^{2} + 6 h x$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x}{h}$

Passaggio 4.1.4

Scomponi $3 h$ da $3 h^{2} + 6 h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Scomponi $3 h$ da $3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 6 h x}{h}$

Passaggio 4.1.4.2

Scomponi $3 h$ da $6 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x)}{h}$

Passaggio 4.1.4.3

Scomponi $3 h$ da $3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x)}{h}$

Passaggio 4.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x)}{h}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $3 (h + 2 x)$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 (h + 2 x)$

Passaggio 4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 3 (2 x)$

Passaggio 4.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x$

Passaggio 4.2.3.2

Riordina $3 h$ e $6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x + 3 h$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$lim_{h \to 0} 6 x + lim_{h \to 0} 3 h$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di $6 x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$6 x + lim_{h \to 0} 3 h$

Passaggio 5.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h$

Passaggio 6

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$6 x + 3 \cdot 0$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$6 x + 0$

Passaggio 7.2

Somma $6 x$ e $0$ .

$6 x$

Passaggio 8