Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Passaggio 1

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Passaggio 3

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Passaggio 3.2

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Passaggio 3.3

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Passaggio 3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 3.6

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

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Passaggio 3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x}$

Passaggio 3.6.5

Semplifica.

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x}$

Passaggio 4

Trova i componenti della definizione.

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Passaggio 4.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = \frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$

Passaggio 4.1.2

La risposta finale è $\frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$ .

$\frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$

Passaggio 4.2

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = \frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x}$

$f (x + h) = \frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x}$

Passaggio 5

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h}}{x + h} - (\frac{\sqrt{x}}{x})}{h}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.1

Per scrivere $\frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h}}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x}}{h}$

Passaggio 6.1.2

Per scrivere $- \frac{\sqrt{x}}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h}}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Passaggio 6.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x + h) x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 6.1.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$ per $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h} x}{(x + h) x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Passaggio 6.1.3.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{x}}{x}$ per $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h} x}{(x + h) x} - \frac{\sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 6.1.3.3

Riordina i fattori di $(x + h) x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h} x}{x (x + h)} - \frac{\sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 6.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h} x - \sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 6.1.5

Riscrivi $\frac{\sqrt{x + h} x - \sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 6.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + h}$ come ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - \sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 6.1.5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{1}{2}} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 6.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 6.1.5.4

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.1.5.4.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 6.1.5.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 6.1.5.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 6.1.5.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{1 + \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 6.1.5.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 6.1.5.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{2 + 1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 6.1.5.4.5

Somma $2$ e $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 6.1.5.5

Riscrivi ${(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 6.1.5.5.1

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da ${(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h$ .

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Passaggio 6.1.5.5.1.1

Riordina ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ e $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 6.1.5.5.1.2

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $x {(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}) - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 6.1.5.5.1.3

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $- x^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 6.1.5.5.1.4

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $- x^{\frac{1}{2}} h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 6.1.5.5.1.5

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 6.1.5.5.1.6

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}} - h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 6.1.5.5.2

Dividi $2$ per $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 6.1.5.5.3

Semplifica.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 6.1.5.6

Riduci l'espressione $\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)}{x (x + h)}$ eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 6.1.5.6.1

Scomponi $x$ da $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h))}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 6.1.5.6.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h))}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 6.1.5.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)}{x + h}}{h}$

Passaggio 6.1.6

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}}}}{h}$

Passaggio 6.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 6.3

Moltiplica $\frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$

Passaggio 6.4

Riordina i fattori in $\frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{h x^{\frac{1}{2}} (x + h)}$

Passaggio 7

Semplifica l'argomento del limite.

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Passaggio 7.1

Converti gli esponenti frazionari in radicali.

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Passaggio 7.1.1

Riscrivi $x^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{h x^{\frac{1}{2}} (x + h)}$

Passaggio 7.1.2

Riscrivi ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x} \sqrt{x + h} - x - h}{h x^{\frac{1}{2}} (x + h)}$

Passaggio 7.1.3

Riscrivi $x^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x} \sqrt{x + h} - x - h}{h \sqrt{x} (x + h)}$

Passaggio 7.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x (x + h)} - x - h}{h \sqrt{x} (x + h)}$

Passaggio 8

Since the numerator is negative and the denominator $h \sqrt{x} (x + h)$ approaches zero and is less than zero for $h$ near $0$ on both sides, the function increases without bound.

$\infty$

Passaggio 9