Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} + 1$ , $[2, 3]$

Passaggio 1

Trova la derivata di $f (x) = x^{3} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Passaggio 1.1.4

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

$f' (x)$ è continua su $[2, 3]$ .

$f' (x)$ è continua

Passaggio 4

Il valore medio della funzione $f'$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 5

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\int_{2}^{3} 3 x^{2} d x)$

Passaggio 6

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 \int_{2}^{3} x^{2} d x)$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3}))$

Passaggio 8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}))$

Passaggio 8.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $3$ e per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{27}{3} - \frac{2^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.2.2

Elimina il fattore comune di $27$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{2^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{2^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{2^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9}{1} - \frac{2^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.2.2.2.4

Dividi $9$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 - \frac{2^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 - \frac{8}{3}))$

Passaggio 8.2.2.4

Per scrivere $9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}))$

Passaggio 8.2.2.5

$9$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}))$

Passaggio 8.2.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9 \cdot 3 - 8}{3}))$

Passaggio 8.2.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.7.1

Moltiplica $9$ per $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{27 - 8}{3}))$

Passaggio 8.2.2.7.2

Sottrai $8$ da $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{19}{3}))$

Passaggio 8.2.2.8

$3$ e $\frac{19}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3})$

Passaggio 8.2.2.9

Moltiplica $3$ per $19$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{57}{3})$

Passaggio 8.2.2.10

Elimina il fattore comune di $57$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.10.1

Scomponi $3$ da $57$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3})$

Passaggio 8.2.2.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.10.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3 (1)})$

Passaggio 8.2.2.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3 \cdot 1})$

Passaggio 8.2.2.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{19}{1})$

Passaggio 8.2.2.10.2.4

Dividi $19$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (19)$

Passaggio 9

Sottrai $2$ da $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 19$

Passaggio 10

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 19$

Passaggio 10.2

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = 1 \cdot 19$

Passaggio 11

Moltiplica $19$ per $1$ .

$A (x) = 19$

Passaggio 12