Calcolo Esempi

$f (x) = 2 \sqrt{x}$ , $[4, 9]$

Passaggio 1

Trova la derivata di $f (x) = 2 \sqrt{x}$ .

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 1.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 1.1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.1.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 1.1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 1.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.1.10

$2$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.1.11

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.12

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.13

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso $[a, b]$ . Per scoprire se $f' (x)$ è continua su $[4, 9]$ o no, calcola il dominio di $f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Passaggio 2.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

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Passaggio 2.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{1}{\sqrt{x^{1}}}$

Passaggio 2.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{1}{\sqrt{x}}$

Passaggio 2.2

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 2.3

Imposta il denominatore in $\frac{1}{\sqrt{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{x} = 0$

Passaggio 2.4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 2.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.4.2.2.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 2.4.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.4.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 2.4.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 0^{2}$

Passaggio 2.4.2.2.1.2

Semplifica.

$x = 0^{2}$

Passaggio 2.4.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.4.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > 0}$

Notazione degli intervalli:

$(0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > 0}$

Passaggio 3

$f' (x)$ è continua su $[4, 9]$ .

$f' (x)$ è continua

Passaggio 4

Il valore medio della funzione $f'$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 5

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Passaggio 6

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 6.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x)$

Passaggio 6.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 6.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x)$

Passaggio 6.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{\frac{- 1}{2}} d x)$

Passaggio 6.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{- \frac{1}{2}} d x)$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 x^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9})$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 8.1

Calcola $2 x^{\frac{1}{2}}$ per $9$ e per $4$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 8.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.2.4

Calcola l'esponente.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.2.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.2.6

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.2.7

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Passaggio 8.2.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 8.2.8.1

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Passaggio 8.2.8.2

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2)$

Passaggio 8.2.9

Calcola l'esponente.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2)$

Passaggio 8.2.10

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 4)$

Passaggio 8.2.11

Sottrai $4$ da $6$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2)$

Passaggio 9

Sottrai $4$ da $9$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 2$

Passaggio 10

$\frac{1}{5}$ e $2$ .

$A (x) = \frac{2}{5}$

Passaggio 11