Calcolo Esempi

$y = x^{3}$ , $[0, 5]$

Passaggio 1

Scrivi $y = x^{3}$ come funzione.

$f (x) = x^{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata di $f (x) = x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 3

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4

$f' (x)$ è continua su $[0, 5]$ .

$f' (x)$ è continua

Passaggio 5

Il valore medio della funzione $f'$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 6

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 3 x^{2} d x)$

Passaggio 7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 \int_{0}^{5} x^{2} d x)$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{5}))$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}))$

Passaggio 9.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $5$ e per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 9.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 9.2.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{0}{3}))$

Passaggio 9.2.2.3

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.3.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Passaggio 9.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Passaggio 9.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Passaggio 9.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{0}{1}))$

Passaggio 9.2.2.3.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - 0))$

Passaggio 9.2.2.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} + 0))$

Passaggio 9.2.2.5

Somma $\frac{125}{3}$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3}))$

Passaggio 9.2.2.6

$3$ e $\frac{125}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3})$

Passaggio 9.2.2.7

Moltiplica $3$ per $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{375}{3})$

Passaggio 9.2.2.8

Elimina il fattore comune di $375$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.8.1

Scomponi $3$ da $375$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3})$

Passaggio 9.2.2.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.8.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3 (1)})$

Passaggio 9.2.2.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3 \cdot 1})$

Passaggio 9.2.2.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{125}{1})$

Passaggio 9.2.2.8.2.4

Dividi $125$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (125)$

Passaggio 10

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot 125$

Passaggio 10.2

Somma $5$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 125$

Passaggio 11

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Scomponi $5$ da $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 (25))$

Passaggio 11.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 \cdot 25)$

Passaggio 11.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = 25$

Passaggio 12