Calcolo Esempi

$y = 4 - x^{2}$ ,

$[- 2, 2]$

Passaggio 1

Verifica se

$f (x) = 4 - x^{2}$ è continua.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 1.2

$f (x)$ è continua su

$[- 2, 2]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 2

Verifica se

$f (x) = 4 - x^{2}$ è differenziabile.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

$4 - x^{2}$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.1.1.1.2

Poiché

$4$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$4$ rispetto a

$x$ è

$0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.1.1.2

Calcola

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Poiché

$- 1$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- x^{2}$ rispetto a

$x$ è

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Passaggio 2.1.1.2.3

Moltiplica

$2$ per

$- 1$ .

$0 - 2 x$

Passaggio 2.1.1.3

Sottrai

$2 x$ da

$0$ .

$f' (x) = - 2 x$

Passaggio 2.1.2

La derivata prima di

$f (x)$ rispetto a

$x$ è

$- 2 x$ .

$- 2 x$

Passaggio 2.2

Definisci se la derivata è continua su

$[- 2, 2]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2.2.2

$f' (x)$ è continua su

$[- 2, 2]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 2.3

La funzione è differenziabile su

$[- 2, 2]$ perché la derivata è continua su

$[- 2, 2]$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 3

Affinché la lunghezza dell'arco sia garantita, la funzione e la sua derivata devono essere entrambe continue sull'intervallo chiuso

$[- 2, 2]$ .

La funzione e la sua derivata sono continue sull'intervallo chiuso

$[- 2, 2]$ .

Passaggio 4

Trova la derivata di

$f (x) = 4 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

$4 - x^{2}$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Poiché

$4$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$4$ rispetto a

$x$ è

$0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.2

Calcola

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché

$- 1$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- x^{2}$ rispetto a

$x$ è

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica

$2$ per

$- 1$ .

$0 - 2 x$

Passaggio 4.3

Sottrai

$2 x$ da

$0$ .

$- 2 x$

Passaggio 5

Per calcolare la lunghezza dell'arco di una funzione, usa la formula

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{- 2}^{2} \sqrt{1 + {(- 2 x)}^{2}} d x$

Passaggio 6

Calcola l'integrale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia

$x = \frac{1}{2} \tan (t)$ , dove

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora

$d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ . Si noti che, poiché

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ,

$\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ è positivo.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 6.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica

$\sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e

$\tan (t)$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 6.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a

$\frac{\tan (t)}{2}$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 6.2.1.1.3

Eleva

$2$ alla potenza di

$2$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 6.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di

$4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 6.2.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 6.2.1.2

Rimetti in ordine i termini.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 6.2.1.3

Applica l'identità pitagorica.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 6.2.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 6.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

$\sec (t)$ e

$\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{\sec (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica

$\sec (t)$ per

$\sec^{2} (t)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Moltiplica

$\sec (t)$ per

$\sec^{2} (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Eleva

$\sec (t)$ alla potenza di

$1$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{\sec^{1} (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{{\sec (t)}^{1 + 2}}{2} d t$

Passaggio 6.2.2.2.2

Somma

$1$ e

$2$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{\sec^{3} (t)}{2} d t$

Passaggio 6.3

Poiché

$\frac{1}{2}$ è costante rispetto a

$t$ , sposta

$\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 6.4

Applica la formula di riduzione.

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} + \frac{1}{2} \int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sec (t) d t)$

Passaggio 6.5

L'integrale di

$\sec (t)$ rispetto a

$t$ è

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766})$

Passaggio 6.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

$\frac{1}{2}$ e

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2})$

Passaggio 6.6.2

Per scrivere

$\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2})$

Passaggio 6.6.3

$\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ e

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2})$

Passaggio 6.6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} \cdot 2 + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2}$

Passaggio 6.6.5

Sposta

$2$ alla sinistra di

$\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2}$

Passaggio 6.6.6

Moltiplica

$\frac{1}{2}$ per

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.6.7

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{4}$

Passaggio 6.7

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Calcola

$\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ per

$1.32581766$ e per

$- 1.32581766$ .

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2}) - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{4}$

Passaggio 6.7.2

Calcola

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ per

$1.32581766$ e per

$- 1.32581766$ .

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2}) - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + (\ln (| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |)) - \ln (| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |)}{4}$

Passaggio 6.7.3

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |) - \ln (| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |)}{4}$

Passaggio 6.8

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi,

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Passaggio 6.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.1.1

Calcola

$\tan (- 1.32581766)$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{- 4 \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Passaggio 6.9.1.2

Calcola

$\sec (- 1.32581766)$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{- 4 \cdot 4.12310562}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Passaggio 6.9.2

Moltiplica

$- 4$ per

$4.12310562$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{- 16.4924225}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Passaggio 6.9.3

Dividi

$- 16.4924225$ per

$2$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - - 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Passaggio 6.9.4

Moltiplica

$- 1$ per

$- 8.24621125$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Passaggio 6.9.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.5.1.1

Calcola

$\tan (1.32581766)$ .

$\frac{2 (\frac{4 \sec (1.32581766)}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Passaggio 6.9.5.1.2

Calcola

$\sec (1.32581766)$ .

$\frac{2 (\frac{4 \cdot 4.12310562}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Passaggio 6.9.5.2

Moltiplica

$4$ per

$4.12310562$ .

$\frac{2 (\frac{16.4924225}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Passaggio 6.9.5.3

Dividi

$16.4924225$ per

$2$ .

$\frac{2 (8.24621125 + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Passaggio 6.9.6

Somma

$8.24621125$ e

$8.24621125$ .

$\frac{2 \cdot 16.4924225 + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Passaggio 6.9.7

Moltiplica

$2$ per

$16.4924225$ .

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Passaggio 6.9.8

$\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)$ corrisponde approssimativamente a

$8.12310562$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Passaggio 6.9.9

$\sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766)$ corrisponde approssimativamente a

$0.12310562$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)}{\sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766)})}{4}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)}{\sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766)})}{4}$

Forma decimale:

$9.29356752 \dots$

Passaggio 8