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Calcolo Esempi
,
Passaggio 1
Passaggio 1.1
Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.
Notazione degli intervalli:
Notazione intensiva:
Passaggio 1.2
è continua su .
La funzione è continua.
La funzione è continua.
Passaggio 2
Passaggio 2.1
Trova la derivata.
Passaggio 2.1.1
Trova la derivata prima.
Passaggio 2.1.1.1
Differenzia.
Passaggio 2.1.1.1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.1.1.2
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.1.2
Calcola .
Passaggio 2.1.1.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.1.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.1.1.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 2.1.1.3
Sottrai da .
Passaggio 2.1.2
La derivata prima di rispetto a è .
Passaggio 2.2
Definisci se la derivata è continua su .
Passaggio 2.2.1
Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.
Notazione degli intervalli:
Notazione intensiva:
Passaggio 2.2.2
è continua su .
La funzione è continua.
La funzione è continua.
Passaggio 2.3
La funzione è differenziabile su perché la derivata è continua su .
La funzione è differenziabile.
La funzione è differenziabile.
Passaggio 3
Affinché la lunghezza dell'arco sia garantita, la funzione e la sua derivata devono essere entrambe continue sull'intervallo chiuso .
La funzione e la sua derivata sono continue sull'intervallo chiuso .
Passaggio 4
Passaggio 4.1
Differenzia.
Passaggio 4.1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.2
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.2
Calcola .
Passaggio 4.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 4.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 4.3
Sottrai da .
Passaggio 5
Per calcolare la lunghezza dell'arco di una funzione, usa la formula .
Passaggio 6
Passaggio 6.1
Sia , dove . Allora . Si noti che, poiché , è positivo.
Passaggio 6.2
Semplifica i termini.
Passaggio 6.2.1
Semplifica .
Passaggio 6.2.1.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 6.2.1.1.1
e .
Passaggio 6.2.1.1.2
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 6.2.1.1.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 6.2.1.1.4
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 6.2.1.1.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 6.2.1.1.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 6.2.1.2
Rimetti in ordine i termini.
Passaggio 6.2.1.3
Applica l'identità pitagorica.
Passaggio 6.2.1.4
Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.
Passaggio 6.2.2
Semplifica.
Passaggio 6.2.2.1
e .
Passaggio 6.2.2.2
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Passaggio 6.2.2.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 6.2.2.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 6.2.2.2.1.2
Usa la regola della potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 6.2.2.2.2
Somma e .
Passaggio 6.3
Poiché è costante rispetto a , sposta fuori dall'integrale.
Passaggio 6.4
Applica la formula di riduzione.
Passaggio 6.5
L'integrale di rispetto a è .
Passaggio 6.6
Semplifica.
Passaggio 6.6.1
e .
Passaggio 6.6.2
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 6.6.3
e .
Passaggio 6.6.4
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 6.6.5
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 6.6.6
Moltiplica per .
Passaggio 6.6.7
Moltiplica per .
Passaggio 6.7
Sostituisci e semplifica.
Passaggio 6.7.1
Calcola per e per .
Passaggio 6.7.2
Calcola per e per .
Passaggio 6.7.3
Rimuovi le parentesi non necessarie.
Passaggio 6.8
Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, .
Passaggio 6.9
Semplifica.
Passaggio 6.9.1
Semplifica il numeratore.
Passaggio 6.9.1.1
Calcola .
Passaggio 6.9.1.2
Calcola .
Passaggio 6.9.2
Moltiplica per .
Passaggio 6.9.3
Dividi per .
Passaggio 6.9.4
Moltiplica per .
Passaggio 6.9.5
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 6.9.5.1
Semplifica il numeratore.
Passaggio 6.9.5.1.1
Calcola .
Passaggio 6.9.5.1.2
Calcola .
Passaggio 6.9.5.2
Moltiplica per .
Passaggio 6.9.5.3
Dividi per .
Passaggio 6.9.6
Somma e .
Passaggio 6.9.7
Moltiplica per .
Passaggio 6.9.8
corrisponde approssimativamente a , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto
Passaggio 6.9.9
corrisponde approssimativamente a , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto
Passaggio 7
Il risultato può essere mostrato in più forme.
Forma esatta:
Forma decimale:
Passaggio 8