Calcolo Esempi

$f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ , $[0, 4]$

Passaggio 1

Verifica se $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ è continua.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per determinare se la funzione è continua in $[0, 4]$ o no, trova il dominio di $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{4}{5} \sqrt[4]{x^{5}}$

Passaggio 1.1.2

Imposta il radicando in $\sqrt[4]{x^{5}}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{5} \geq 0$

Passaggio 1.1.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt[5]{x^{5}} \geq \sqrt[5]{0}$

Passaggio 1.1.3.2

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$x \geq \sqrt[5]{0}$

Passaggio 1.1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.2.1

Semplifica $\sqrt[5]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.2.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{5}$ .

$x \geq \sqrt[5]{0^{5}}$

Passaggio 1.1.3.2.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$x \geq 0$

Passaggio 1.1.4

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq 0}$

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq 0}$

Passaggio 1.2

$f (x)$ è continua su $[0, 4]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 2

Verifica se $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ è differenziabile.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

$\frac{4}{5}$ e $x^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}]$

Passaggio 2.1.1.2

Poiché $\frac{4}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$

Passaggio 2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1})$

Passaggio 2.1.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Passaggio 2.1.1.5

$- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Passaggio 2.1.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 1 \cdot 4}{4}})$

Passaggio 2.1.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 4}{4}})$

Passaggio 2.1.1.7.2

Sottrai $4$ da $5$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}})$

Passaggio 2.1.1.8

$\frac{5}{4}$ e $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$

Passaggio 2.1.1.9

Moltiplica $\frac{4}{5}$ per $\frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$ .

$\frac{4 (5 x^{\frac{1}{4}})}{5 \cdot 4}$

Passaggio 2.1.1.10

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.10.1

Moltiplica $5$ per $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{5 \cdot 4}$

Passaggio 2.1.1.10.2

Moltiplica $5$ per $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

Passaggio 2.1.1.11

Elimina il fattore comune.

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

Passaggio 2.1.1.12

Dividi $x^{\frac{1}{4}}$ per $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 2.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{\frac{1}{4}}$ .

$x^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 2.2

Definisci se la derivata è continua su $[0, 4]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per determinare se la funzione è continua in $[0, 4]$ o no, trova il dominio di $f' (x) = x^{\frac{1}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\sqrt[4]{x^{1}}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\sqrt[4]{x}$

Passaggio 2.2.1.2

Imposta il radicando in $\sqrt[4]{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 2.2.1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq 0}$

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq 0}$

Passaggio 2.2.2

$f' (x)$ è continua su $[0, 4]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 2.3

La funzione è differenziabile su $[0, 4]$ perché la derivata è continua su $[0, 4]$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 3

Affinché la lunghezza dell'arco sia garantita, la funzione e la sua derivata devono essere entrambe continue sull'intervallo chiuso $[0, 4]$ .

La funzione e la sua derivata sono continue sull'intervallo chiuso $[0, 4]$ .

Passaggio 4

Trova la derivata di $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$\frac{4}{5}$ e $x^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}]$

Passaggio 4.2

Poiché $\frac{4}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1})$

Passaggio 4.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Passaggio 4.5

$- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Passaggio 4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 1 \cdot 4}{4}})$

Passaggio 4.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 4}{4}})$

Passaggio 4.7.2

Sottrai $4$ da $5$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}})$

Passaggio 4.8

$\frac{5}{4}$ e $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$

Passaggio 4.9

Moltiplica $\frac{4}{5}$ per $\frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$ .

$\frac{4 (5 x^{\frac{1}{4}})}{5 \cdot 4}$

Passaggio 4.10

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.1

Moltiplica $5$ per $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{5 \cdot 4}$

Passaggio 4.10.2

Moltiplica $5$ per $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

Passaggio 4.11

Elimina il fattore comune.

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

Passaggio 4.12

Dividi $x^{\frac{1}{4}}$ per $1$ .

$x^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 5

Per calcolare la lunghezza dell'arco di una funzione, usa la formula $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{4} \sqrt{1 + {(x^{\frac{1}{4}})}^{2}} d x$

Passaggio 6