Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{6 - x}$

Passaggio 1

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = \frac{x + h}{6 - (x + h)}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = \frac{x + h}{6 - x - h}$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è $\frac{x + h}{6 - x - h}$ .

$\frac{x + h}{6 - x - h}$

Passaggio 2.2

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = \frac{x + h}{6 - x - h}$

$f (x) = \frac{x}{6 - x}$

$f (x + h) = \frac{x + h}{6 - x - h}$

$f (x) = \frac{x}{6 - x}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{x + h}{6 - x - h} - (\frac{x}{6 - x})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Per scrivere $\frac{x + h}{6 - x - h}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6 - x}{6 - x}$ .

$\frac{\frac{x + h}{6 - x - h} \cdot \frac{6 - x}{6 - x} - \frac{x}{6 - x}}{h}$

Passaggio 4.1.2

Per scrivere $- \frac{x}{6 - x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6 - x - h}{6 - x - h}$ .

$\frac{\frac{x + h}{6 - x - h} \cdot \frac{6 - x}{6 - x} - \frac{x}{6 - x} \cdot \frac{6 - x - h}{6 - x - h}}{h}$

Passaggio 4.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(6 - x - h) (6 - x)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Moltiplica $\frac{x + h}{6 - x - h}$ per $\frac{6 - x}{6 - x}$ .

$\frac{\frac{(x + h) (6 - x)}{(6 - x - h) (6 - x)} - \frac{x}{6 - x} \cdot \frac{6 - x - h}{6 - x - h}}{h}$

Passaggio 4.1.3.2

Moltiplica $\frac{x}{6 - x}$ per $\frac{6 - x - h}{6 - x - h}$ .

$\frac{\frac{(x + h) (6 - x)}{(6 - x - h) (6 - x)} - \frac{x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Passaggio 4.1.3.3

Riordina i fattori di $(6 - x - h) (6 - x)$ .

$\frac{\frac{(x + h) (6 - x)}{(6 - x) (6 - x - h)} - \frac{x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Passaggio 4.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{(x + h) (6 - x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5

Riscrivi $\frac{(x + h) (6 - x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 4.1.5.1

Espandi $(x + h) (6 - x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{x (6 - x) + h (6 - x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{x \cdot 6 + x (- x) + h (6 - x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{x \cdot 6 + x (- x) + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.5.2.1

Sposta $6$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{\frac{6 \cdot x + x (- x) + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{6 x - x \cdot x + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1.5.2.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{\frac{6 x - (x \cdot x) + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2.4

Sposta $6$ alla sinistra di $h$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 \cdot h + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - x \cdot 6 - x (- x) - x (- h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.4

Semplifica.

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Passaggio 4.1.5.4.1

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - x (- x) - x (- h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.4.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x (- h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.4.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.5.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.5.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.5.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.5.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x + 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.5.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x + x^{2} - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.5.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x + x^{2} + 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.5.5

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x + x^{2} + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.6

Sottrai $6 x$ da $6 x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 h - h x + 0 + x^{2} + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.7

Somma $- x^{2}$ e $0$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 h - h x + x^{2} + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.8

Somma $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\frac{6 h - h x + 0 + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.9

Somma $6 h$ e $0$ .

$\frac{\frac{- h x + 6 h + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.10

Somma $- h x$ e $x h$ .

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Passaggio 4.1.5.10.1

Sposta $h$ .

$\frac{\frac{6 h - x h + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.10.2

Somma $- x h$ e $x h$ .

$\frac{\frac{6 h + 0}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.11

Somma $6 h$ e $0$ .

$\frac{\frac{6 h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Passaggio 4.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{6 h}{(6 - x) (6 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $h$ .

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Passaggio 4.3.1

Scomponi $h$ da $6 h$ .

$\frac{h \cdot 6}{(6 - x) (6 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{h \cdot 6}{(6 - x) (6 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6}{(6 - x) (6 - x - h)}$

Passaggio 5