Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} y {(y^{2} + 1)}^{5} d y$

Passaggio 1

Sia $u = y^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 y d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = y^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$2 y + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $2 y$ e $0$ .

$2 y$

Passaggio 1.2

Sostituisci $y$ con il limite inferiore in $u = y^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 1.3.2

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci $y$ con il limite superiore in $u = y^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1 + 1$

Passaggio 1.5.2

Somma $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{2} u^{5} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

$u^{5}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u^{5}}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{5} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{5}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{2}$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 5.1

Calcola $\frac{1}{6} u^{6}$ per $2$ e per $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{6} \cdot 2^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $6$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 64 - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Passaggio 5.2.2

$\frac{1}{6}$ e $64$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Passaggio 5.2.3

Elimina il fattore comune di $64$ e $6$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Scomponi $2$ da $64$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 (32)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Passaggio 5.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Passaggio 5.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Passaggio 5.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Passaggio 5.2.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1)$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6})$

Passaggio 5.2.6

Per scrivere $\frac{32}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6})$

Passaggio 5.2.7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 5.2.7.1

Moltiplica $\frac{32}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6})$

Passaggio 5.2.7.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32 \cdot 2}{6} - \frac{1}{6})$

Passaggio 5.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{32 \cdot 2 - 1}{6}$

Passaggio 5.2.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.9.1

Moltiplica $32$ per $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{64 - 1}{6}$

Passaggio 5.2.9.2

Sottrai $1$ da $64$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{63}{6}$

Passaggio 5.2.10

Elimina il fattore comune di $63$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.10.1

Scomponi $3$ da $63$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 (21)}{6}$

Passaggio 5.2.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.10.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2}$

Passaggio 5.2.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2}$

Passaggio 5.2.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{21}{2}$

Passaggio 5.2.11

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{21}{2}$ .

$\frac{21}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.2.12

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{21}{4}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{21}{4}$

Forma decimale:

$5.25$

Forma numero misto:

$5 \frac{1}{4}$

Passaggio 7