Calcolo Esempi

$\int_{0}^{2} \frac{2 t}{{(t - 3)}^{2}} d t$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{0}^{2} \frac{t}{{(t - 3)}^{2}} d t$

Passaggio 2

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{{(t - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

$\frac{A}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{B}{t - 3}$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è ${(t - 3)}^{2}$ .

$\frac{t {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Passaggio 2.1.4

Elimina il fattore comune di ${(t - 3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{t {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Passaggio 2.1.4.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Passaggio 2.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Elimina il fattore comune di ${(t - 3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$t = \frac{A {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Passaggio 2.1.5.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$t = A + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Passaggio 2.1.5.2

Elimina il fattore comune di ${(t - 3)}^{2}$ e $t - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.2.1

Scomponi $t - 3$ da $(B) {(t - 3)}^{2}$ .

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{t - 3}$

Passaggio 2.1.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{(t - 3) \cdot 1}$

Passaggio 2.1.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{(t - 3) \cdot 1}$

Passaggio 2.1.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$t = A + \frac{B (t - 3)}{1}$

Passaggio 2.1.5.2.2.4

Dividi $B (t - 3)$ per $1$ .

$t = A + B (t - 3)$

Passaggio 2.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$t = A + B t + B \cdot - 3$

Passaggio 2.1.5.4

Sposta $- 3$ alla sinistra di $B$ .

$t = A + B t - 3 B$

Passaggio 2.1.6

Riordina $A$ e $B t$ .

$t = B t + A - 3 B$

Passaggio 2.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $t$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = B$

Passaggio 2.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $t$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A - 3 B$

Passaggio 2.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = B$

$0 = A - 3 B$

$1 = B$

$0 = A - 3 B$

Passaggio 2.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riscrivi l'equazione come $B = 1$ .

$B = 1$

$0 = A - 3 B$

Passaggio 2.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $0 = A - 3 B$ con $1$ .

$0 = A - 3 \cdot 1$

$B = 1$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$0 = A - 3$

$B = 1$

$0 = A - 3$

$B = 1$

$0 = A - 3$

$B = 1$

Passaggio 2.3.3

Risolvi per $A$ in $0 = A - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $A - 3 = 0$ .

$A - 3 = 0$

$B = 1$

Passaggio 2.3.3.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$A = 3$

$B = 1$

$A = 3$

$B = 1$

Passaggio 2.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$A = 3 B = 1$

Passaggio 2.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 3, B = 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{B}{t - 3}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{3}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{1}{t - 3}$

Passaggio 2.5

Rimuovi lo zero dall'espressione.

$2 \int_{0}^{2} \frac{3}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{1}{t - 3} d t$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$2 (\int_{0}^{2} \frac{3}{{(t - 3)}^{2}} d t + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Passaggio 4

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$2 (3 \int_{0}^{2} \frac{1}{{(t - 3)}^{2}} d t + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Passaggio 5

Sia $u_{1} = t - 3$ . Allora $d u_{1} = d t$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u_{1} = t - 3$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $t - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t - 3]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $t - 3$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 3]$

Passaggio 5.1.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $t$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u_{1} = t - 3$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

Passaggio 5.3

Sottrai $3$ da $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Passaggio 5.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u_{1} = t - 3$ .

$u_{upper} = 2 - 3$

Passaggio 5.5

Sottrai $3$ da $2$ .

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Passaggio 6

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sposta ${u_{1}}^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Passaggio 6.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{1}}^{- 2}$ rispetto a $u_{1}$ è $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Passaggio 8

Sia $u_{2} = t - 3$ . Allora $d u_{2} = d t$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u_{2} = t - 3$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $t - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t - 3]$

Passaggio 8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $t - 3$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 3]$

Passaggio 8.1.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $t$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 8.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 8.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u_{2} = t - 3$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

Passaggio 8.3

Sottrai $3$ da $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Passaggio 8.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u_{2} = t - 3$ .

$u_{upper} = 2 - 3$

Passaggio 8.5

Sottrai $3$ da $2$ .

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 8.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 8.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \ln (| u_{2} |)]_{- 3}^{- 1})$

Passaggio 10

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Calcola $- {u_{1}}^{- 1}$ per $- 1$ e per $- 3$ .

$2 (3 ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1}) + \ln (| u_{2} |)]_{- 3}^{- 1})$

Passaggio 10.2

Calcola $\ln (| u_{2} |)$ per $- 1$ e per $- 3$ .

$2 (3 ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Passaggio 10.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (3 (- \frac{1}{- 1} + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Passaggio 10.3.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{1}{- 1}$ .

$2 (3 (- (- 1 \cdot 1) + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Passaggio 10.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 (3 (- - 1 + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Passaggio 10.3.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 (3 (1 + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Passaggio 10.3.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (3 (1 + \frac{1}{- 3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Passaggio 10.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (3 (1 - \frac{1}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Passaggio 10.3.7

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$2 (3 (\frac{3}{3} - \frac{1}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Passaggio 10.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (3 \frac{3 - 1}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Passaggio 10.3.9

Sottrai $1$ da $3$ .

$2 (3 (\frac{2}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Passaggio 10.3.10

$3$ e $\frac{2}{3}$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Passaggio 10.3.11

Moltiplica $3$ per $2$ .

$2 (\frac{6}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Passaggio 10.3.12

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.12.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Passaggio 10.3.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.12.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Passaggio 10.3.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Passaggio 10.3.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{2}{1} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Passaggio 10.3.12.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 (2 + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

$2 (2 + \ln (| - 1 |) - \ln (| - 3 |))$

Passaggio 11

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 (2 + \ln (\frac{| - 1 |}{| - 3 |}))$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 1$ e $0$ è $1$ .

$2 (2 + \ln (\frac{1}{| - 3 |}))$

Passaggio 12.1.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 3$ e $0$ è $3$ .

$2 (2 + \ln (\frac{1}{3}))$

Passaggio 12.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 2 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

Passaggio 12.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$4 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

Forma decimale:

$1.80277542 \dots$

Passaggio 14