Calcolo Esempi

$\int_{0}^{2} | z - z^{2} | d z$

Passaggio 1

Suddividi l'integrale a seconda di dove $z - z^{2}$ è positivo e negativo.

$\int_{0}^{1} z - z^{2} d z + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{1} z d z + \int_{0}^{1} - z^{2} d z + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $z$ rispetto a $z$ è $\frac{1}{2} z^{2}$ .

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - z^{2} d z + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $z$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} z^{2} d z + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $z^{2}$ rispetto a $z$ è $\frac{1}{3} z^{3}$ .

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} z^{3}]_{0}^{1}) + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

Passaggio 6

$\frac{1}{3}$ e $z^{3}$ .

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{1}^{2} - z d z + \int_{1}^{2} z^{2} d z$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $z$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) - \int_{1}^{2} z d z + \int_{1}^{2} z^{2} d z$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $z$ rispetto a $z$ è $\frac{1}{2} z^{2}$ .

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) - (\frac{1}{2} z^{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} z^{2} d z$

Passaggio 10

$\frac{1}{2}$ e $z^{2}$ .

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) - (\frac{z^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} z^{2} d z$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $z^{2}$ rispetto a $z$ è $\frac{1}{3} z^{3}$ .

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) - (\frac{z^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \frac{1}{3} z^{3}]_{1}^{2}$

Passaggio 12

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Calcola $\frac{1}{2} z^{2}$ per $1$ e per $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) - (\frac{z^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \frac{1}{3} z^{3}]_{1}^{2}$

Passaggio 12.2

Calcola $\frac{z^{3}}{3}$ per $1$ e per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{z^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \frac{1}{3} z^{3}]_{1}^{2}$

Passaggio 12.3

Calcola $\frac{z^{2}}{2}$ per $2$ e per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} z^{3}]_{1}^{2}$

Passaggio 12.4

Calcola $\frac{1}{3} z^{3}$ per $2$ e per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.4

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.5

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.6

Somma $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.8

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.9

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.9.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.9.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.9.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.10

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} + 0) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.11

Somma $\frac{1}{3}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.12

Per scrivere $\frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.13

Per scrivere $- \frac{1}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.14

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.14.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.14.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.14.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.14.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{6} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.15

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 - 2}{6} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.16

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{1}{6} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.17

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{6} - (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.18

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.18.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{6} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.18.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.18.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{6} - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.18.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{6} - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.18.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{6} - (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.18.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$\frac{1}{6} - (2 - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.19

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{6} - (2 - \frac{1}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.20

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{6} - (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.21

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{6} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.22

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{6} - \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.23

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.23.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{6} - \frac{4 - 1}{2} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.23.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$\frac{1}{6} - \frac{3}{2} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.24

Per scrivere $- \frac{3}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{6} - \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.25

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.25.1

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{6} - \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.25.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{1}{6} - \frac{3 \cdot 3}{6} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.26

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - 3 \cdot 3}{6} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.27

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.27.1

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$\frac{1 - 9}{6} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.27.2

Sottrai $9$ da $1$ .

$\frac{- 8}{6} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.28

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.28.1

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$\frac{2 (- 4)}{6} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.28.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.28.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.28.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.28.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 4}{3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.29

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.30

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.31

$\frac{1}{3}$ e $8$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.5.32

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{4}{3} + \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1$

Passaggio 12.5.33

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{8}{3} - \frac{1}{3}$

Passaggio 12.5.34

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{4}{3} + \frac{8 - 1}{3}$

Passaggio 12.5.35

Sottrai $1$ da $8$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{7}{3}$

Passaggio 12.5.36

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 4 + 7}{3}$

Passaggio 12.5.37

Somma $- 4$ e $7$ .

$\frac{3}{3}$

Passaggio 12.5.38

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.38.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{3}$

Passaggio 12.5.38.2

Riscrivi l'espressione.

$1$

Passaggio 13