Calcolo Esempi

$\int_{1}^{4} \sqrt{16 x^{5}} d x$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $16 x^{5}$ come ${(4 x^{2})}^{2} x$ .

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\int_{1}^{4} \sqrt{4^{2} x^{5}} d x$

Passaggio 1.1.2

Metti in evidenza $x^{4}$ .

$\int_{1}^{4} \sqrt{4^{2} (x^{4} x)} d x$

Passaggio 1.1.3

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$\int_{1}^{4} \sqrt{4^{2} ({(x^{2})}^{2} x)} d x$

Passaggio 1.1.4

Riscrivi $4^{2} {(x^{2})}^{2}$ come ${(4 x^{2})}^{2}$ .

$\int_{1}^{4} \sqrt{{(4 x^{2})}^{2} x} d x$

Passaggio 1.2

Estrai i termini dal radicale.

$\int_{1}^{4} 4 x^{2} \sqrt{x} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{2} x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.2.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} 4 (x^{\frac{1}{2}} x^{2}) d x$

Passaggio 2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1}{2} + 2} d x$

Passaggio 2.2.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Passaggio 2.2.4

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} d x$

Passaggio 2.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}} d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.2.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1 + 4}{2}} d x$

Passaggio 2.2.6.2

Somma $1$ e $4$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{5}{2}} d x$

Passaggio 3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int_{1}^{4} x^{\frac{5}{2}} d x$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{5}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}]_{1}^{4})$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

$\frac{2}{7}$ e $x^{\frac{7}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}]_{1}^{4})$

Passaggio 5.2

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Calcola $\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$ per $4$ e per $1$ .

$4 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{7}{2}}}{7}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Passaggio 5.2.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$4 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Passaggio 5.2.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{7}{2})}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Passaggio 5.2.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$4 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{7}{2})}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Passaggio 5.2.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$4 (\frac{2 \cdot 2^{7}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Passaggio 5.2.2.4

Eleva $2$ alla potenza di $7$ .

$4 (\frac{2 \cdot 128}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Passaggio 5.2.2.5

Moltiplica $2$ per $128$ .

$4 (\frac{256}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Passaggio 5.2.2.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 (\frac{256}{7} - \frac{2 \cdot 1}{7})$

Passaggio 5.2.2.7

Moltiplica $2$ per $1$ .

$4 (\frac{256}{7} - \frac{2}{7})$

Passaggio 5.2.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{256 - 2}{7}$

Passaggio 5.2.2.9

Sottrai $2$ da $256$ .

$4 (\frac{254}{7})$

Passaggio 5.2.2.10

$4$ e $\frac{254}{7}$ .

$\frac{4 \cdot 254}{7}$

Passaggio 5.2.2.11

Moltiplica $4$ per $254$ .

$\frac{1016}{7}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1016}{7}$

Forma decimale:

$145.14285714 \dots$

Forma numero misto:

$145 \frac{1}{7}$

Passaggio 7