Calcolo Esempi

$\int x^{2} e^{6 x} d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{2}$ e $d v = e^{6 x}$ .

$x^{2} (\frac{1}{6} e^{6 x}) - \int \frac{1}{6} e^{6 x} (2 x) d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{6}$ e $e^{6 x}$ .

$x^{2} \frac{e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} (2 x) d x$

Passaggio 2.2

$x^{2}$ e $\frac{e^{6 x}}{6}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} (2 x) d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{6} \cdot 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{6} \cdot 2$ fuori dall'integrale.

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \cdot 2 \int e^{6 x} (x) d x)$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$\frac{1}{6}$ e $2$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - (\frac{2}{6} \int e^{6 x} (x) d x)$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - (\frac{2 (1)}{6} \int e^{6 x} (x) d x)$

Passaggio 4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int e^{6 x} (x) d x)$

Passaggio 4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int e^{6 x} (x) d x)$

Passaggio 4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{3} \int e^{6 x} (x) d x)$

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} \int e^{6 x} (x) d x$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{6 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (x (\frac{1}{6} e^{6 x}) - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$\frac{1}{6}$ e $e^{6 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (x \frac{e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

Passaggio 6.2

$x$ e $\frac{e^{6 x}}{6}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

Passaggio 6.3

$\frac{1}{6}$ e $e^{6 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \int \frac{e^{6 x}}{6} d x)$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \int e^{6 x} d x))$

Passaggio 8

Sia $u = 6 x$ . Allora $d u = 6 d x$ , quindi $\frac{1}{6} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u = 6 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Passaggio 8.1.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int e^{u} \frac{1}{6} d u)$

Passaggio 9

$e^{u}$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{6} d u)$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} (\frac{1}{6} \int e^{u} d u))$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{1}{6}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6} \int e^{u} d u)$

Passaggio 11.2

Moltiplica $6$ per $6$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} \int e^{u} d u)$

Passaggio 12

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Riscrivi $\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$ come $\frac{1}{6} x^{2} e^{6 x} - \frac{1}{3} (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$ .

$\frac{1}{6} x^{2} e^{6 x} - \frac{1}{3} (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Passaggio 13.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

$\frac{1}{6}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{6} e^{6 x} - \frac{1}{3} (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Passaggio 13.2.2

$\frac{x^{2}}{6}$ e $e^{6 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Passaggio 13.2.3

$\frac{1}{6}$ e $x$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x}{6} e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Passaggio 13.2.4

$\frac{x}{6}$ e $e^{6 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Passaggio 13.2.5

$e^{u}$ e $\frac{1}{36}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36}) + C$

Passaggio 13.2.6

Per scrivere $- \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36}) \cdot \frac{6}{6} + C$

Passaggio 13.2.7

$- \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36})$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} + \frac{- \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36}) \cdot 6}{6} + C$

Passaggio 13.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36}) \cdot 6}{6} + C$

Passaggio 13.2.9

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} - 6 (\frac{1}{3}) (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36})}{6} + C$

Passaggio 13.2.10

$- 6$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} + \frac{- 6}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36})}{6} + C$

Passaggio 13.2.11

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.11.1

Scomponi $3$ da $- 6$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} + \frac{3 \cdot - 2}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36})}{6} + C$

Passaggio 13.2.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.11.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} + \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36})}{6} + C$

Passaggio 13.2.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} e^{6 x} + \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36})}{6} + C$

Passaggio 13.2.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2} e^{6 x} + \frac{- 2}{1} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36})}{6} + C$

Passaggio 13.2.11.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} - 2 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36})}{6} + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 x$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} - 2 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{6 x}}{36})}{6} + C$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} e^{6 x} - 2 \frac{x e^{6 x}}{6} - 2 (- \frac{e^{6 x}}{36})}{6} + C$

Passaggio 15.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{6 x}}{6} - 2 (- \frac{e^{6 x}}{36})}{6} + C$

Passaggio 15.2.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{6 x}}{2 \cdot 3} - 2 (- \frac{e^{6 x}}{36})}{6} + C$

Passaggio 15.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} e^{6 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{6 x}}{2 \cdot 3} - 2 (- \frac{e^{6 x}}{36})}{6} + C$

Passaggio 15.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{x e^{6 x}}{3} - 2 (- \frac{e^{6 x}}{36})}{6} + C$

Passaggio 15.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{6 x}}{36}$ nel numeratore.

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{x e^{6 x}}{3} - 2 \frac{- e^{6 x}}{36}}{6} + C$

Passaggio 15.3.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{x e^{6 x}}{3} + 2 (- 1) \frac{- e^{6 x}}{36}}{6} + C$

Passaggio 15.3.3

Scomponi $2$ da $36$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{x e^{6 x}}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{6 x}}{2 \cdot 18}}{6} + C$

Passaggio 15.3.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{x e^{6 x}}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{6 x}}{2 \cdot 18}}{6} + C$

Passaggio 15.3.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{x e^{6 x}}{3} - \frac{- e^{6 x}}{18}}{6} + C$

Passaggio 15.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{x e^{6 x}}{3} - - \frac{e^{6 x}}{18}}{6} + C$

Passaggio 15.4.2

Moltiplica $- - \frac{e^{6 x}}{18}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{x e^{6 x}}{3} + 1 \frac{e^{6 x}}{18}}{6} + C$

Passaggio 15.4.2.2

Moltiplica $\frac{e^{6 x}}{18}$ per $1$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{x e^{6 x}}{3} + \frac{e^{6 x}}{18}}{6} + C$

Passaggio 16

Riordina i termini.

$\frac{1}{6} (x^{2} e^{6 x} - \frac{1}{3} x e^{6 x} + \frac{1}{18} e^{6 x}) + C$