Calcolo Esempi

$y = e^{a x} \sin (b x)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d b} (y) = \frac{d}{d b} (e^{a x} \sin (b x))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $b$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $e^{a x}$ è costante rispetto a $b$ , la derivata di $e^{a x} \sin (b x)$ rispetto a $b$ è $e^{a x} \frac{d}{d b} [\sin (b x)]$ .

$e^{a x} \frac{d}{d b} [\sin (b x)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d b} [f (g (b))]$ è $f' (g (b)) g' (b)$ dove $f (b) = \sin (b)$ e $g (b) = b x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $b x$ .

$e^{a x} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d b} [b x])$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$e^{a x} (\cos (u) \frac{d}{d b} [b x])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $b x$ .

$e^{a x} (\cos (b x) \frac{d}{d b} [b x])$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $b$ , la derivata di $b x$ rispetto a $b$ è $x \frac{d}{d b} [b]$ .

$e^{a x} (\cos (b x) (x \frac{d}{d b} [b]))$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ è $n b^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{a x} (\cos (b x) (x \cdot 1))$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$e^{a x} (\cos (b x) x)$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Riordina i fattori di $e^{a x} (\cos (b x) x)$ .

$e^{a x} x \cos (b x)$

Passaggio 3.4.2

Riordina i fattori in $e^{a x} x \cos (b x)$ .

$x e^{a x} \cos (b x)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = x e^{a x} \cos (b x)$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d b}$ .

$\frac{d y}{d b} = x e^{a x} \cos (b x)$