Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) \sin (\sin (2 x)) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 1.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.5.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$\frac{1}{2}$ e $\cos (u_{1})$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{1})}{2} \sin (\sin (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 2.2

$\frac{\cos (u_{1})}{2}$ e $\sin (\sin (u_{1}))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1}))}{2} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 4

Sia $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Allora $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Passaggio 4.2

Sostituisci $u_{1}$ con il limite inferiore in $u_{2} = \sin (u_{1})$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Passaggio 4.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 4.4

Sostituisci $u_{1}$ con il limite superiore in $u_{2} = \sin (u_{1})$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 4.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sin (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 5

L'integrale di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u_{2})]_{0}^{1}$

Passaggio 6

Calcola $- \cos (u_{2})$ per $1$ e per $0$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (1) + \cos (0))$

Passaggio 7

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (1) + 1)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Calcola $\cos (1)$ .

$\frac{1}{2} (- 1 \cdot 0.5403023 + 1)$

Passaggio 8.2

Moltiplica $- 1$ per $0.5403023$ .

$\frac{1}{2} (- 0.5403023 + 1)$

Passaggio 8.3

Somma $- 0.5403023$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0.45969769$

Passaggio 8.4

$\frac{1}{2}$ e $0.45969769$ .

$\frac{0.45969769}{2}$

Passaggio 8.5

Dividi $0.45969769$ per $2$ .

$0.22984884$