Calcolo Esempi

$e^{4 x} + e^{- x}$

Passaggio 1

Scrivi $e^{4 x} + e^{- x}$ come funzione.

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{4 x} + e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.2.5

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- x$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- x$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Passaggio 2.3.6

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 e^{4 x} - e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 e^{4 x}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 x$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x$ .

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 3.2.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 3.2.6

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 x}$ .

$f'' (x) = 4 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{- x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- x$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 3.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- x$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 3.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Passaggio 3.3.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Passaggio 3.3.7

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + e^{- x}$

Passaggio 3.3.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + 1 e^{- x}$

Passaggio 3.3.9

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + e^{- x}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{4 x} + e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 5.1.2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 5.1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 5.1.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 5.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 5.1.2.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 5.1.2.5

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- x$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 5.1.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 5.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- x$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 5.1.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 5.1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Passaggio 5.1.3.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Passaggio 5.1.3.6

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 e^{4 x} - e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$

Passaggio 6.2

Sposta $- e^{- x}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendolo a entrambi i lati.

$4 e^{4 x} = e^{- x}$

Passaggio 6.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (4 e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

Passaggio 6.4

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Riscrivi $\ln (4 e^{4 x})$ come $\ln (4) + \ln (e^{4 x})$ .

$\ln (4) + \ln (e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

Passaggio 6.4.2

Espandi $\ln (e^{4 x})$ spostando $4 x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (4) + 4 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Passaggio 6.4.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (4) + 4 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Passaggio 6.4.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\ln (4) + 4 x = \ln (e^{- x})$

Passaggio 6.5

Espandi il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Espandi $\ln (e^{- x})$ spostando $- x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (4) + 4 x = - x \ln (e)$

Passaggio 6.5.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (4) + 4 x = - x \cdot 1$

Passaggio 6.5.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\ln (4) + 4 x = - x$

Passaggio 6.6

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\ln (4) + 4 x + x = 0$

Passaggio 6.6.2

Somma $4 x$ e $x$ .

$\ln (4) + 5 x = 0$

Passaggio 6.7

Sottrai $\ln (4)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 x = - \ln (4)$

Passaggio 6.8

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = - \ln (4)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = - \ln (4)$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

Passaggio 6.8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

Passaggio 6.8.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \ln (4)}{5}$

Passaggio 6.8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{\ln (4)}{5}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$16 e^{4 (- \frac{\ln (4)}{5})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Passaggio 10

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Riscrivi $\frac{\ln (4)}{5}$ come $\frac{1}{5} \ln (4)$ .

$16 e^{4 (- (\frac{1}{5} \ln (4)))} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Passaggio 10.2

Semplifica $\frac{1}{5} \ln (4)$ spostando $\frac{1}{5}$ all'interno del logaritmo.

$16 e^{4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Passaggio 10.3

Moltiplica $4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$16 e^{- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica $- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$16 e^{- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Passaggio 10.4

Semplifica $- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$16 e^{\ln ({({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Passaggio 10.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$16 {({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Passaggio 10.6

Moltiplica gli esponenti in ${({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(4^{\frac{1}{5}})}^{4 \cdot - 1} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Passaggio 10.6.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$16 {(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Passaggio 10.7

Moltiplica gli esponenti in ${(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.7.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \cdot 4^{\frac{1}{5} \cdot - 4} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Passaggio 10.7.2

$\frac{1}{5}$ e $- 4$ .

$16 \cdot 4^{\frac{- 4}{5}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Passaggio 10.7.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$16 \cdot 4^{- \frac{4}{5}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Passaggio 10.8

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 \cdot \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Passaggio 10.9

$16$ e $\frac{1}{4^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Passaggio 10.10

Riscrivi $\frac{\ln (4)}{5}$ come $\frac{1}{5} \ln (4)$ .

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- - (\frac{1}{5} \ln (4))}$

Passaggio 10.11

Semplifica $\frac{1}{5} \ln (4)$ spostando $\frac{1}{5}$ all'interno del logaritmo.

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- - \ln (4^{\frac{1}{5}})}$

Passaggio 10.12

Moltiplica $- - \ln (4^{\frac{1}{5}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.12.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{1 \ln (4^{\frac{1}{5}})}$

Passaggio 10.12.2

Moltiplica $\ln (4^{\frac{1}{5}})$ per $1$ .

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{\ln (4^{\frac{1}{5}})}$

Passaggio 10.13

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$

Passaggio 11

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = - \frac{\ln (4)}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Simplify $- \frac{\ln (4)}{5}$ to substitute in $f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Riscrivi $\frac{\ln (4)}{5}$ come $\frac{1}{5} \ln (4)$ .

$y = - (\frac{1}{5} \cdot \ln (4))$

Passaggio 12.1.2

Semplifica $\frac{1}{5} \ln (4)$ spostando $\frac{1}{5}$ all'interno del logaritmo.

$y = - \ln (4^{\frac{1}{5}})$

Passaggio 12.2

Sostituisci la variabile $x$ con $- \ln (4^{\frac{1}{5}})$ nell'espressione.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Passaggio 12.3

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.1

Moltiplica $4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Passaggio 12.3.1.1.2

Semplifica $- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Passaggio 12.3.1.2

Semplifica $- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{\ln ({({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1})} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Passaggio 12.3.1.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = {({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Passaggio 12.3.1.4

Moltiplica gli esponenti in ${({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = {(4^{\frac{1}{5}})}^{4 \cdot - 1} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Passaggio 12.3.1.4.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = {(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Passaggio 12.3.1.5

Moltiplica gli esponenti in ${(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = 4^{\frac{1}{5} \cdot - 4} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Passaggio 12.3.1.5.2

$\frac{1}{5}$ e $- 4$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = 4^{\frac{- 4}{5}} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Passaggio 12.3.1.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = 4^{- \frac{4}{5}} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Passaggio 12.3.1.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Passaggio 12.3.1.7

Moltiplica $- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{1 \ln (4^{\frac{1}{5}})}$

Passaggio 12.3.1.7.2

Moltiplica $\ln (4^{\frac{1}{5}})$ per $1$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{\ln (4^{\frac{1}{5}})}$

Passaggio 12.3.1.8

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$

Passaggio 12.3.2

La risposta finale è $\frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$ .

$y = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$

Passaggio 13

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$ .

$(- \frac{\ln (4)}{5}, \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}})$ è un minimo locale

Passaggio 14