Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 + e^{x}$ . Allora $d u = e^{x} d x$ , quindi $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 + e^{x}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Passaggio 1.1.4

Somma $0$ e $e^{x}$ .

$e^{x}$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 1 + e^{x}$ .

$u_{lower} = 1 + e^{0}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Passaggio 1.3.2

Somma $1$ e $1$ .

$u_{lower} = 2$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 1 + e^{x}$ .

$u_{upper} = 1 + e^{1}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

$u_{upper} = 1 + e$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1 + e$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{2}^{1 + e} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{2}^{1 + e}$

Passaggio 3

Calcola $\ln (| u |)$ per $1 + e$ e per $2$ .

$\ln (| 1 + e |) - \ln (| 2 |)$

Passaggio 4

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + e |}{| 2 |})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$1 + e$ corrisponde approssimativamente a $3.71828182$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\ln (\frac{1 + e}{| 2 |})$

Passaggio 5.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\ln (\frac{1 + e}{2})$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\ln (\frac{1 + e}{2})$

Forma decimale:

$0.62011450 \dots$

Passaggio 7