Calcolo Esempi

$\int \frac{\sec (x) \tan (x)}{9 + 4 \sec^{2} (x)} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \sec (x)$ . Allora $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \sec (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{9 + 4 u^{2}} d u$

Passaggio 2

Scomponi $4$ da $9 + 4 u^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi $4$ da $9$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 u^{2}} d u$

Passaggio 2.2

Scomponi $4$ da $4 u^{2}$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 (u^{2})} d u$

Passaggio 2.3

Scomponi $4$ da $4 (\frac{9}{4}) + 4 (u^{2})$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4} + u^{2})} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{9}{4} + u^{2}} d u$

Passaggio 4

Riscrivi $\frac{9}{4}$ come ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + u^{2}} d u$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + u^{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica.

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Passaggio 6.1.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{4} (1 (\frac{2}{3}) \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (u \frac{2}{3}) + C)$

Passaggio 6.1.4

$u$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{u \cdot 2}{3}) + C)$

Passaggio 6.1.5

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{2 \cdot u}{3}) + C)$

Passaggio 6.1.6

$\frac{2}{3}$ e $\arctan (\frac{2 u}{3})$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \arctan (\frac{2 u}{3})}{3} + C)$

Passaggio 6.2

Riscrivi $\frac{1}{4} (\frac{2 \arctan (\frac{2 u}{3})}{3} + C)$ come $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Passaggio 6.3

Semplifica.

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Passaggio 6.3.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{4 \cdot 3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{2}{12} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Passaggio 6.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $12$ .

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Passaggio 6.3.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{12} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Passaggio 6.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Passaggio 6.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Passaggio 6.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sec (x)$ .

$\frac{1}{6} \arctan (\frac{2}{3} \sec (x)) + C$