Calcolo Esempi

$\int 6 e^{6 x} \sin (e^{6 x}) d x$

Passaggio 1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$6 \int e^{6 x} \sin (e^{6 x}) d x$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = 6 x$ . Allora $d u_{1} = 6 d x$ , quindi $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = 6 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$6 \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) \frac{1}{6} d u_{1}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{6}$ e $e^{u_{1}}$ .

$6 \int \frac{e^{u_{1}}}{6} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 3.2

$\frac{e^{u_{1}}}{6}$ e $\sin (e^{u_{1}})$ .

$6 \int \frac{e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}})}{6} d u_{1}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$6 (\frac{1}{6} \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{6}$ e $6$ .

$\frac{6}{6} \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $6$ .

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6}{6} \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $\int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$ per $1$ .

$\int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 6

Sia $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Allora $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Passaggio 6.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}}$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 7

L'integrale di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \cos (u_{2})$ .

$- \cos (u_{2}) + C$

Passaggio 8

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 8.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e^{u_{1}}$ .

$- \cos (e^{u_{1}}) + C$

Passaggio 8.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $6 x$ .

$- \cos (e^{6 x}) + C$