Calcolo Esempi

$\int_{0}^{8} \sqrt{64 - x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = 8 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 8 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $8 \cos (t)$ è positivo.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 - {(8 \sin (t))}^{2}} (8 \cos (t)) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{64 - {(8 \sin (t))}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $8 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 - (8^{2} \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.2

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 - (64 \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.3

Moltiplica $64$ per $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 - 64 \sin^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $64$ da $64$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1) - 64 \sin^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $64$ da $- 64 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1) + 64 (- \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $64$ da $64 (1) + 64 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1 - \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 \cos^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $64 \cos^{2} (t)$ come ${(8 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(8 \cos (t))}^{2}} (8 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 8 \cos (t) (8 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Moltiplica $8$ per $8$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 64 \cos (t) \cos (t) d t$

Passaggio 2.2.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 64 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2.3

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 64 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Passaggio 2.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 64 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Passaggio 2.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 64 \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 3

Poiché $64$ è costante rispetto a $t$ , sposta $64$ fuori dall'integrale.

$64 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 4

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t)$ come $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$64 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$64 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

$\frac{1}{2}$ e $64$ .

$\frac{64}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $64$ e $2$ .

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Passaggio 6.2.1

Scomponi $2$ da $64$ .

$\frac{2 \cdot 32}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{32}{1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.2.2.4

Dividi $32$ per $1$ .

$32 \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$32 (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$32 (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 9

Sia $u = 2 t$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 9.1

Sia $u = 2 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 9.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 9.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 9.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 9.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 9.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 9.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 9.5.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 9.5.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = π$

Passaggio 9.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Passaggio 9.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$32 (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 10

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$32 (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$32 (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u)$

Passaggio 12

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$32 (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

Passaggio 13

$\frac{1}{2}$ e $\sin (u)]_{0}^{π}$ .

$32 (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u)]_{0}^{π}}{2})$

Passaggio 14

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 14.1

Calcola $t$ per $\frac{π}{2}$ e per $0$ .

$32 ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{\sin (u)]_{0}^{π}}{2})$

Passaggio 14.2

Calcola $\sin (u)$ per $π$ e per $0$ .

$32 ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{(\sin (π)) - \sin (0)}{2})$

Passaggio 14.3

Somma $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$32 (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - \sin (0)}{2})$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$32 (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - 0}{2})$

Passaggio 15.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$32 (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) + 0}{2})$

Passaggio 15.3

Somma $\sin (π)$ e $0$ .

$32 (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2})$

Passaggio 16

Semplifica.

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Passaggio 16.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$32 \frac{π + \sin (π)}{2}$

Passaggio 16.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 16.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$32 \frac{π + \sin (0)}{2}$

Passaggio 16.2.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$32 \frac{π + 0}{2}$

Passaggio 16.3

Somma $π$ e $0$ .

$32 \frac{π}{2}$

Passaggio 16.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 16.4.1

Scomponi $2$ da $32$ .

$2 (16) \frac{π}{2}$

Passaggio 16.4.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 16 \frac{π}{2}$

Passaggio 16.4.3

Riscrivi l'espressione.

$16 π$

Passaggio 17

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$16 π$

Forma decimale:

$50.26548245 \dots$

Passaggio 18