Calcolo Esempi

$\int x \sqrt[4]{5 x + 1} d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \sqrt[4]{5 x + 1}$ .

$x (\frac{4}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}) - \int \frac{4}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$\frac{4}{25}$ e ${(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ .

$x \frac{4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \int \frac{4}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x$

Passaggio 2.2

$x$ e $\frac{4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25}$ .

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \int \frac{4}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{4}{25}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{4}{25}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - (\frac{4}{25} \int {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x)$

Passaggio 4

Sia $u = 5 x + 1$ . Allora $d u = 5 d x$ , quindi $\frac{1}{5} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = 5 x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $5 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x + 1]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $5$ e $0$ .

$5$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{25} \int u^{\frac{5}{4}} \frac{1}{5} d u$

Passaggio 5

$u^{\frac{5}{4}}$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{25} \int \frac{u^{\frac{5}{4}}}{5} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{25} (\frac{1}{5} \int u^{\frac{5}{4}} d u)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $\frac{4}{25}$ .

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{5 \cdot 25} \int u^{\frac{5}{4}} d u$

Passaggio 7.2

Moltiplica $5$ per $25$ .

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{125} \int u^{\frac{5}{4}} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{5}{4}}$ rispetto a $u$ è $\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}}$ .

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{125} (\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Riscrivi $\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{125} (\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C)$ come $\frac{4}{25} x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{125} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$ .

$\frac{4}{25} x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{125} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

$\frac{4}{25}$ e $x$ .

$\frac{4 x}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{125} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$

Passaggio 9.2.2

$\frac{4 x}{25}$ e ${(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{4}{125} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica $\frac{4}{9}$ per $\frac{4}{125}$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 125} u^{\frac{9}{4}} + C$

Passaggio 9.2.4

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{16}{9 \cdot 125} u^{\frac{9}{4}} + C$

Passaggio 9.2.5

Moltiplica $9$ per $125$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}} + C$

Passaggio 9.2.6

Per scrivere $- \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{25}{25}$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}} \cdot \frac{25}{25} + C$

Passaggio 9.2.7

$- \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}}$ e $\frac{25}{25}$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} + \frac{- \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}} \cdot 25}{25} + C$

Passaggio 9.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}} \cdot 25}{25} + C$

Passaggio 9.2.9

$u^{\frac{9}{4}}$ e $\frac{16}{1125}$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{u^{\frac{9}{4}} \cdot 16}{1125} \cdot 25}{25} + C$

Passaggio 9.2.10

Moltiplica $25$ per $- 1$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 25 \frac{u^{\frac{9}{4}} \cdot 16}{1125}}{25} + C$

Passaggio 9.2.11

$- 25$ e $\frac{u^{\frac{9}{4}} \cdot 16}{1125}$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 25 (u^{\frac{9}{4}} \cdot 16)}{1125}}{25} + C$

Passaggio 9.2.12

Moltiplica $16$ per $- 25$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 400 u^{\frac{9}{4}}}{1125}}{25} + C$

Passaggio 9.2.13

Scomponi $25$ da $- 400 u^{\frac{9}{4}}$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{25 (- 16 u^{\frac{9}{4}})}{1125}}{25} + C$

Passaggio 9.2.14

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.2.14.1

Scomponi $25$ da $1125$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{25 (- 16 u^{\frac{9}{4}})}{25 (45)}}{25} + C$

Passaggio 9.2.14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{25 (- 16 u^{\frac{9}{4}})}{25 \cdot 45}}{25} + C$

Passaggio 9.2.14.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

Passaggio 9.2.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

Passaggio 9.2.16

Per scrivere $4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{45}{45}$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} \cdot \frac{45}{45} - \frac{16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

Passaggio 9.2.17

$4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ e $\frac{45}{45}$ .

$\frac{\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} \cdot 45}{45} - \frac{16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

Passaggio 9.2.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} \cdot 45 - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

Passaggio 9.2.19

Moltiplica $45$ per $4$ .

$\frac{\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

Passaggio 9.2.20

Riscrivi $\frac{\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25}$ come un prodotto.

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45} \cdot \frac{1}{25} + C$

Passaggio 9.2.21

Moltiplica $\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}$ per $\frac{1}{25}$ .

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45 \cdot 25} + C$

Passaggio 9.2.22

Moltiplica $45$ per $25$ .

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{1125} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x + 1$ .

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 {(5 x + 1)}^{\frac{9}{4}}}{1125} + C$

Passaggio 11

Riordina i termini.

$\frac{1}{1125} (180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 {(5 x + 1)}^{\frac{9}{4}}) + C$