Calcolo Esempi

$\int_{1}^{7} x \sqrt{6 x^{2} + 3} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 6 x^{2} + 3$ . Allora $d u = 12 x d x$ , quindi $\frac{1}{12} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 6 x^{2} + 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $6 x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} + 3]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 x + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $12 x$ e $0$ .

$12 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 6 x^{2} + 3$ .

$u_{lower} = 6 \cdot 1^{2} + 3$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{lower} = 6 \cdot 1 + 3$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $6$ per $1$ .

$u_{lower} = 6 + 3$

Passaggio 1.3.2

Somma $6$ e $3$ .

$u_{lower} = 9$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 6 x^{2} + 3$ .

$u_{upper} = 6 \cdot 7^{2} + 3$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 6 \cdot 49 + 3$

Passaggio 1.5.1.2

Moltiplica $6$ per $49$ .

$u_{upper} = 294 + 3$

Passaggio 1.5.2

Somma $294$ e $3$ .

$u_{upper} = 297$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 297$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{9}^{297} \sqrt{u} \frac{1}{12} d u$

Passaggio 2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{12}$ .

$\int_{9}^{297} \frac{\sqrt{u}}{12} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{12}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{12}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{12} \int_{9}^{297} \sqrt{u} d u$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{12} \int_{9}^{297} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{12} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{297}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $297$ e per $9$ .

$\frac{1}{12} ((\frac{2}{3} \cdot 297^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

$\frac{2}{3}$ e $297^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.3

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Passaggio 6.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Passaggio 6.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

Passaggio 6.2.5

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27)$

Passaggio 6.2.6

Moltiplica $27$ per $- 1$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - 27 (\frac{2}{3}))$

Passaggio 6.2.7

$- 27$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3})$

Passaggio 6.2.8

Moltiplica $- 27$ per $2$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 54}{3})$

Passaggio 6.2.9

Elimina il fattore comune di $- 54$ e $3$ .

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Passaggio 6.2.9.1

Scomponi $3$ da $- 54$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3})$

Passaggio 6.2.9.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.2.9.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)})$

Passaggio 6.2.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1})$

Passaggio 6.2.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 18}{1})$

Passaggio 6.2.9.2.4

Dividi $- 18$ per $1$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - 18)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{12} \cdot - 18$

Passaggio 7.2

Combina.

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{12} \cdot - 18$

Passaggio 7.3

Elimina il fattore comune di $6$ .

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Passaggio 7.3.1

Scomponi $6$ da $12$ .

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{6 (2)} \cdot - 18$

Passaggio 7.3.2

Scomponi $6$ da $- 18$ .

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 3)$

Passaggio 7.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 3)$

Passaggio 7.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

Passaggio 7.4

$\frac{1}{2}$ e $- 3$ .

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{- 3}{2}$

Passaggio 7.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Scomponi $2$ da $1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{2 (1 \cdot (297^{\frac{3}{2}}))}{12 \cdot 3} + \frac{- 3}{2}$

Passaggio 7.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1

Scomponi $2$ da $12 \cdot 3$ .

$\frac{2 (1 \cdot (297^{\frac{3}{2}}))}{2 (6 \cdot 3)} + \frac{- 3}{2}$

Passaggio 7.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (1 \cdot (297^{\frac{3}{2}}))}{2 (6 \cdot 3)} + \frac{- 3}{2}$

Passaggio 7.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 \cdot (297^{\frac{3}{2}})}{6 \cdot 3} + \frac{- 3}{2}$

Passaggio 7.5.3

Moltiplica $297^{\frac{3}{2}}$ per $1$ .

$\frac{297^{\frac{3}{2}}}{6 \cdot 3} + \frac{- 3}{2}$

Passaggio 7.5.4

Moltiplica $6$ per $3$ .

$\frac{297^{\frac{3}{2}}}{18} + \frac{- 3}{2}$

Passaggio 7.5.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{297^{\frac{3}{2}}}{18} - \frac{3}{2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{297^{\frac{3}{2}}}{18} - \frac{3}{2}$

Forma decimale:

$282.85585100 \dots$

Passaggio 9