Calcolo Esempi

$\int_{1}^{5} x \sqrt{2 x^{2} - 1} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 2 x^{2} - 1$ . Allora $d u = 4 x d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 2 x^{2} - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $4 x$ e $0$ .

$4 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 2 x^{2} - 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 1^{2} - 1$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{lower} = 2 \cdot 1 - 1$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u_{lower} = 2 - 1$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 2 x^{2} - 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 5^{2} - 1$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 25 - 1$

Passaggio 1.5.1.2

Moltiplica $2$ per $25$ .

$u_{upper} = 50 - 1$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $1$ da $50$ .

$u_{upper} = 49$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 49$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{49} \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

Passaggio 2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{49} \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{49} \sqrt{u} d u$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{49} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{49}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $49$ e per $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 49^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Riscrivi $49$ come $7^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(7^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.4

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 343 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.5

$\frac{2}{3}$ e $343$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 343}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.6

Moltiplica $2$ per $343$ .

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Passaggio 6.2.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3})$

Passaggio 6.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{686 - 2}{3}$

Passaggio 6.2.10

Sottrai $2$ da $686$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{684}{3}$

Passaggio 6.2.11

Elimina il fattore comune di $684$ e $3$ .

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Passaggio 6.2.11.1

Scomponi $3$ da $684$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3}$

Passaggio 6.2.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.11.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3 (1)}$

Passaggio 6.2.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{228}{1}$

Passaggio 6.2.11.2.4

Dividi $228$ per $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 228$

Passaggio 6.2.12

$\frac{1}{4}$ e $228$ .

$\frac{228}{4}$

Passaggio 6.2.13

Elimina il fattore comune di $228$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.13.1

Scomponi $4$ da $228$ .

$\frac{4 \cdot 57}{4}$

Passaggio 6.2.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.13.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 \cdot 57}{4 (1)}$

Passaggio 6.2.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 57}{4 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{57}{1}$

Passaggio 6.2.13.2.4

Dividi $57$ per $1$ .

$57$

Passaggio 7