Calcolo Esempi

$\int_{1}^{e} x^{2} - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{e} x^{2} d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Calcola $\frac{1}{3} x^{3}$ per $e$ e per $1$ .

$(\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\ln (| x |)$ per $e$ e per $1$ .

$\frac{1}{3} e^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 5.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

$\frac{1}{3}$ e $e^{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 5.1.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 5.1.3.4

Per scrivere $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.1.3.5

$- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} + \frac{- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.1.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.1.3.7

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{e^{3} - 3 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))}{3} - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})}{3} - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - 1}{3}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

$e$ corrisponde approssimativamente a $2.71828182$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{e}{| 1 |}) - 1}{3}$

Passaggio 5.3.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{e}{1}) - 1}{3}$

Passaggio 5.3.3

Dividi $e$ per $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 \ln (e) - 1}{3}$

Passaggio 5.3.4

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 \cdot 1 - 1}{3}$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 - 1}{3}$

Passaggio 5.3.6

Sottrai $1$ da $- 3$ .

$\frac{e^{3} - 4}{3}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{e^{3} - 4}{3}$

Forma decimale:

$5.36184564 \dots$

Passaggio 7