Calcolo Esempi

$\int_{1}^{e} 4 x - \frac{11}{x} d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{e} 4 x d x + \int_{1}^{e} - \frac{11}{x} d x$

Passaggio 2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} - \frac{11}{x} d x$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{11}{x} d x$

Passaggio 4

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{11}{x} d x$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - \int_{1}^{e} \frac{11}{x} d x$

Passaggio 6

Poiché $11$ è costante rispetto a $x$ , sposta $11$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - (11 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 7

Moltiplica $11$ per $- 1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 11 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 11 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

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Passaggio 9.1

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 9.1.1

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $e$ e per $1$ .

$4 ((\frac{e^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - 11 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Passaggio 9.1.2

Calcola $\ln (| x |)$ per $e$ e per $1$ .

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 11 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 9.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 11 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 9.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Passaggio 9.3

Semplifica.

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Passaggio 9.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Passaggio 9.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 (2) \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Passaggio 9.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 2 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Passaggio 9.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 e^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Passaggio 9.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$2 e^{2} + 4 (\frac{- 1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Passaggio 9.3.3.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 e^{2} + 2 (2) \frac{- 1}{2} - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Passaggio 9.3.3.3

Elimina il fattore comune.

$2 e^{2} + 2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Passaggio 9.3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$2 e^{2} + 2 \cdot - 1 - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Passaggio 9.3.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 e^{2} - 2 - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Passaggio 9.3.5

$e$ corrisponde approssimativamente a $2.71828182$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$2 e^{2} - 2 - 11 \ln (\frac{e}{| 1 |})$

Passaggio 9.3.6

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 11 \ln (\frac{e}{1})$

Passaggio 9.3.7

Dividi $e$ per $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 11 \ln (e)$

Passaggio 9.3.8

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 11 \cdot 1$

Passaggio 9.3.9

Moltiplica $- 11$ per $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 11$

Passaggio 9.3.10

Sottrai $11$ da $- 2$ .

$2 e^{2} - 13$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$2 e^{2} - 13$

Forma decimale:

$1.77811219 \dots$

Passaggio 11