Calcolo Esempi

$\int_{2}^{x^{2}} \arctan (t) d t$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \arctan (t)$ e $d v = 1$ .

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{2}^{x^{2}} t \frac{1}{t^{2} + 1} d t$

Passaggio 2

$t$ e $\frac{1}{t^{2} + 1}$ .

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{2}^{x^{2}} \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

Passaggio 3

Sia $u = t^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 t d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = t^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{2} + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 3.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$2 t + 0$

Passaggio 3.1.5

Somma $2 t$ e $0$ .

$2 t$

Passaggio 3.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = t^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 2^{2} + 1$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$u_{lower} = 4 + 1$

Passaggio 3.3.2

Somma $4$ e $1$ .

$u_{lower} = 5$

Passaggio 3.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = t^{2} + 1$ .

$u_{upper} = {(x^{2})}^{2} + 1$

Passaggio 3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = x^{2 \cdot 2} + 1$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u_{upper} = x^{4} + 1$

Passaggio 3.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = x^{4} + 1$

Passaggio 3.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{5}^{x^{4} + 1} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{5}^{x^{4} + 1} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{5}^{x^{4} + 1} \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - (\frac{1}{2} \int_{5}^{x^{4} + 1} \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{5}^{x^{4} + 1}$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $\arctan (t) t$ per $x^{2}$ e per $2$ .

$(\arctan (x^{2}) x^{2}) - \arctan (2) \cdot 2 - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{5}^{x^{4} + 1}$

Passaggio 7.2

Calcola $\ln (| u |)$ per $x^{4} + 1$ e per $5$ .

$(\arctan (x^{2}) x^{2}) - \arctan (2) \cdot 2 - \frac{1}{2} ((\ln (| x^{4} + 1 |)) - \ln (| 5 |))$

Passaggio 7.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} - 2 \arctan (2) - \frac{1}{2} (\ln (| x^{4} + 1 |) - \ln (| 5 |))$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} - 2 \arctan (2) - \frac{1}{2} \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})$

Passaggio 8.2

$\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} - 2 \arctan (2) - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2}$

Passaggio 8.3

Per scrivere $\arctan (x^{2}) x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2} - 2 \arctan (2)$

Passaggio 8.4

$\arctan (x^{2}) x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2} - 2 \arctan (2)$

Passaggio 8.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2 - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2} - 2 \arctan (2)$

Passaggio 8.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\arctan (x^{2}) x^{2}$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2} - 2 \arctan (2)$

Passaggio 9

Semplifica i termini.

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Passaggio 9.1

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} (2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{1}{| 5 |} | x^{4} + 1 |)) - 2 \arctan (2)$

Passaggio 9.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.2.1.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $5$ è $5$ .

$\frac{1}{2} (2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{1}{5} | x^{4} + 1 |)) - 2 \arctan (2)$

Passaggio 9.2.1.2

$\frac{1}{5}$ e $| x^{4} + 1 |$ .

$\frac{1}{2} (2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

Passaggio 9.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} (2 \arctan (x^{2}) x^{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

Passaggio 9.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 9.2.3.1

Scomponi $2$ da $2 \arctan (x^{2}) x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\arctan (x^{2}) x^{2})) + \frac{1}{2} (- \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

Passaggio 9.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (2 (\arctan (x^{2}) x^{2})) + \frac{1}{2} (- \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

Passaggio 9.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\arctan (x^{2}) x^{2} + \frac{1}{2} (- \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

Passaggio 9.2.4

$\frac{1}{2}$ e $\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

Passaggio 9.2.5

Per scrivere $\arctan (x^{2}) x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

Passaggio 9.2.6

$\arctan (x^{2}) x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

Passaggio 9.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2 - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

Passaggio 9.2.8

Sposta $2$ alla sinistra di $\arctan (x^{2}) x^{2}$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

Passaggio 9.2.9

Calcola $\arctan (2)$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \cdot 1.10714871$

Passaggio 9.2.10

Moltiplica $- 2$ per $1.10714871$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2.21429743$