Calcolo Esempi

$\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2} - 1} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2} - 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2} - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = x^{2} - 1$ .

$u_{lower} = 2^{2} - 1$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$u_{lower} = 4 - 1$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$u_{lower} = 3$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = x^{2} - 1$ .

$u_{upper} = 3^{2} - 1$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 9 - 1$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $1$ da $9$ .

$u_{upper} = 8$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 8$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{3}^{8} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int_{3}^{8} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\int_{3}^{8} \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{3}^{8} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{3}^{8}$

Passaggio 5

Calcola $\ln (| u |)$ per $8$ e per $3$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 8 |) - \ln (| 3 |))$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 8 |}{| 3 |})$

Passaggio 6.2

$\frac{1}{2}$ e $\ln (\frac{| 8 |}{| 3 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 8 |}{| 3 |})}{2}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $8$ è $8$ .

$\frac{\ln (\frac{8}{| 3 |})}{2}$

Passaggio 7.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$\frac{\ln (\frac{8}{3})}{2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\ln (\frac{8}{3})}{2}$

Forma decimale:

$0.49041462 \dots$

Passaggio 9