Calcolo Esempi

$\int_{1}^{4} \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{4} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} x^{- 2} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - (- x^{- 1}]_{1}^{4})$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1.1

Calcola $\ln (| x |)$ per $4$ e per $1$ .

$(\ln (| 4 |)) - \ln (| 1 |) - (- x^{- 1}]_{1}^{4})$

Passaggio 6.1.2

Calcola $- x^{- 1}$ per $4$ e per $1$ .

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Passaggio 6.1.3

Semplifica.

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Passaggio 6.1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

Passaggio 6.1.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{4} + 1)$

Passaggio 6.1.3.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

Passaggio 6.1.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - \frac{- 1 + 4}{4}$

Passaggio 6.1.3.5

Somma $- 1$ e $4$ .

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - \frac{3}{4}$

Passaggio 6.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 4 |}{| 1 |}) - \frac{3}{4}$

Passaggio 6.3

Semplifica.

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Passaggio 6.3.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $4$ è $4$ .

$\ln (\frac{4}{| 1 |}) - \frac{3}{4}$

Passaggio 6.3.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\ln (\frac{4}{1}) - \frac{3}{4}$

Passaggio 6.3.3

Dividi $4$ per $1$ .

$\ln (4) - \frac{3}{4}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\ln (4) - \frac{3}{4}$

Forma decimale:

$0.63629436 \dots$

Passaggio 8