Calcolo Esempi

$\int_{1}^{4} 5 y \sqrt{y} + 3 \sqrt{y} d y$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} 5 y \cdot y^{\frac{1}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

Passaggio 1.2

Moltiplica $y$ per $y^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.1

Sposta $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} 5 (y^{\frac{1}{2}} y) + 3 \sqrt{y} d y$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $y^{\frac{1}{2}}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int_{1}^{4} 5 (y^{\frac{1}{2}} y^{1}) + 3 \sqrt{y} d y$

Passaggio 1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1}{2} + 1} + 3 \sqrt{y} d y$

Passaggio 1.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

Passaggio 1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1 + 2}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

Passaggio 1.2.5

Somma $1$ e $2$ .

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{3}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{3}{2}} d y + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

Passaggio 3

Poiché $5$ è costante rispetto a $y$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int_{1}^{4} y^{\frac{3}{2}} d y + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $y^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $y$ è $\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

Passaggio 5

$\frac{2}{5}$ e $y^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

Passaggio 6

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} \sqrt{y} d y$

Passaggio 7

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} y^{\frac{1}{2}} d y$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $y^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $y$ è $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4})$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

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Passaggio 9.1

$\frac{2}{3}$ e $y^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Passaggio 9.2

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 9.2.1

Calcola $\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}$ per $4$ e per $1$ .

$5 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Passaggio 9.2.2

Calcola $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ per $4$ e per $1$ .

$5 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 9.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$5 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 9.2.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 9.2.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$5 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 9.2.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$5 (\frac{2 \cdot 2^{5}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 9.2.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$5 (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 9.2.3.5

Moltiplica $2$ per $32$ .

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 9.2.3.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 9.2.3.7

Moltiplica $2$ per $1$ .

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 9.2.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 \frac{64 - 2}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 9.2.3.9

Sottrai $2$ da $64$ .

$5 (\frac{62}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 9.2.3.10

$5$ e $\frac{62}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 62}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 9.2.3.11

Moltiplica $5$ per $62$ .

$\frac{310}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 9.2.3.12

Elimina il fattore comune di $310$ e $5$ .

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Passaggio 9.2.3.12.1

Scomponi $5$ da $310$ .

$\frac{5 \cdot 62}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 9.2.3.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.12.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{5 \cdot 62}{5 (1)} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 9.2.3.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \cdot 62}{5 \cdot 1} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 9.2.3.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{62}{1} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 9.2.3.12.2.4

Dividi $62$ per $1$ .

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 9.2.3.13

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$62 + 3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 9.2.3.14

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 9.2.3.15

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.15.1

Elimina il fattore comune.

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 9.2.3.15.2

Riscrivi l'espressione.

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 9.2.3.16

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 9.2.3.17

Moltiplica $2$ per $8$ .

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 9.2.3.18

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3})$

Passaggio 9.2.3.19

Moltiplica $2$ per $1$ .

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Passaggio 9.2.3.20

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$62 + 3 \frac{16 - 2}{3}$

Passaggio 9.2.3.21

Sottrai $2$ da $16$ .

$62 + 3 (\frac{14}{3})$

Passaggio 9.2.3.22

$3$ e $\frac{14}{3}$ .

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3}$

Passaggio 9.2.3.23

Moltiplica $3$ per $14$ .

$62 + \frac{42}{3}$

Passaggio 9.2.3.24

Elimina il fattore comune di $42$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.24.1

Scomponi $3$ da $42$ .

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3}$

Passaggio 9.2.3.24.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.2.3.24.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3 (1)}$

Passaggio 9.2.3.24.2.2

Elimina il fattore comune.

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1}$

Passaggio 9.2.3.24.2.3

Riscrivi l'espressione.

$62 + \frac{14}{1}$

Passaggio 9.2.3.24.2.4

Dividi $14$ per $1$ .

$62 + 14$

Passaggio 9.2.3.25

Somma $62$ e $14$ .

$76$

Passaggio 10