Calcolo Esempi

$\int_{1}^{4} (1 - u) \sqrt{u} d u$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} (1 - u) u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 2

Espandi $(1 - u) u^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{1}^{4} 1 u^{\frac{1}{2}} - u \cdot u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $u^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u \cdot u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 2.3

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - (u \cdot u^{\frac{1}{2}}) d u$

Passaggio 2.4

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - (u^{1} u^{\frac{1}{2}}) d u$

Passaggio 2.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{1 + \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 2.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{2 + 1}{2}} d u$

Passaggio 2.8

Somma $2$ e $1$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{4} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4})$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

$\frac{2}{5}$ e $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4})$

Passaggio 7.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $4$ e per $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4})$

Passaggio 7.2.2

Calcola $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ per $4$ e per $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 7.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 7.2.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 7.2.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.2.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 7.2.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 7.2.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 7.2.3.5

$\frac{2}{3}$ e $8$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 7.2.3.6

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 7.2.3.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 7.2.3.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 7.2.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{16 - 2}{3} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 7.2.3.10

Sottrai $2$ da $16$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 7.2.3.11

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 7.2.3.12

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 7.2.3.13

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.2.3.13.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 7.2.3.13.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{5}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 7.2.3.14

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 7.2.3.15

Moltiplica $2$ per $32$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Passaggio 7.2.3.16

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{14}{3} - (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1}{5})$

Passaggio 7.2.3.17

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{64}{5} - \frac{2}{5})$

Passaggio 7.2.3.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{14}{3} - \frac{64 - 2}{5}$

Passaggio 7.2.3.19

Sottrai $2$ da $64$ .

$\frac{14}{3} - \frac{62}{5}$

Passaggio 7.2.3.20

Per scrivere $\frac{14}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{14}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{62}{5}$

Passaggio 7.2.3.21

Per scrivere $- \frac{62}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{62}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 7.2.3.22

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $15$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 7.2.3.22.1

Moltiplica $\frac{14}{3}$ per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{14 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{62}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 7.2.3.22.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{14 \cdot 5}{15} - \frac{62}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 7.2.3.22.3

Moltiplica $\frac{62}{5}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14 \cdot 5}{15} - \frac{62 \cdot 3}{5 \cdot 3}$

Passaggio 7.2.3.22.4

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{14 \cdot 5}{15} - \frac{62 \cdot 3}{15}$

Passaggio 7.2.3.23

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{14 \cdot 5 - 62 \cdot 3}{15}$

Passaggio 7.2.3.24

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.2.3.24.1

Moltiplica $14$ per $5$ .

$\frac{70 - 62 \cdot 3}{15}$

Passaggio 7.2.3.24.2

Moltiplica $- 62$ per $3$ .

$\frac{70 - 186}{15}$

Passaggio 7.2.3.24.3

Sottrai $186$ da $70$ .

$\frac{- 116}{15}$

Passaggio 7.2.3.25

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{116}{15}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{116}{15}$

Forma decimale:

$- 7.7\overline{3}$

Forma numero misto:

$- 7 \frac{11}{15}$

Passaggio 9