Calcolo Esempi

$\int_{1}^{4} \sqrt{\frac{2}{x}} d x$

Passaggio 1

Riscrivi $\sqrt{\frac{2}{x}}$ come $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 2

Poiché $\sqrt{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\sqrt{2}$ fuori dall'integrale.

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 3

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 3.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 3.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 3.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 3.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2} 2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 5.1

Calcola $2 x^{\frac{1}{2}}$ per $4$ e per $1$ .

$\sqrt{2} ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\sqrt{2} (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{2} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{2} (2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.4

Calcola l'esponente.

$\sqrt{2} (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\sqrt{2} (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{2} (4 - 2 \cdot 1)$

Passaggio 5.2.7

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\sqrt{2} (4 - 2)$

Passaggio 5.2.8

Sottrai $2$ da $4$ .

$\sqrt{2} \cdot 2$

Passaggio 5.2.9

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$2 \sqrt{2}$

Forma decimale:

$2.82842712 \dots$

Passaggio 7