Calcolo Esempi

$\int_{1}^{2} {(x + \frac{1}{x})}^{2} d x$

Passaggio 1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi ${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ come $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ .

$\int_{1}^{2} (x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x}) d x$

Passaggio 1.2

Espandi $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{1}^{2} x (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) d x$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) d x$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Passaggio 1.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Passaggio 1.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Passaggio 1.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x \cdot x} d x$

Passaggio 1.3.1.3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x} d x$

Passaggio 1.3.1.3.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Passaggio 1.3.1.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Passaggio 1.3.1.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 1.3.2

Somma $1$ e $1$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{1} x + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{1} x^{1} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{1}^{2} x^{1 + 1} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} 2 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} 2 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 5

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 6

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 6.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 6.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 6.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + - x^{- 1}]_{1}^{2}$

Passaggio 8

Semplifica la risposta.

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Passaggio 8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}$ e $2 x]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{1}^{2} + - x^{- 1}]_{1}^{2}$

Passaggio 8.1.2

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{1}^{2}$ e $- x^{- 1}]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x - x^{- 1}]_{1}^{2}$

Passaggio 8.2

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 8.2.1

Calcola $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x - x^{- 1}$ per $2$ e per $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2 - 2^{- 1}) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Passaggio 8.2.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 + 2 \cdot 2 - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Passaggio 8.2.2.2

$\frac{1}{3}$ e $8$ .

$\frac{8}{3} + 2 \cdot 2 - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Passaggio 8.2.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{8}{3} + 4 - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Passaggio 8.2.2.4

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Passaggio 8.2.2.5

$4$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Passaggio 8.2.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{8 + 4 \cdot 3}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Passaggio 8.2.2.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.2.2.7.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{8 + 12}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Passaggio 8.2.2.7.2

Somma $8$ e $12$ .

$\frac{20}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Passaggio 8.2.2.8

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{20}{3} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Passaggio 8.2.2.9

Per scrivere $\frac{20}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{20}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Passaggio 8.2.2.10

Per scrivere $- \frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Passaggio 8.2.2.11

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.11.1

Moltiplica $\frac{20}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{20 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Passaggio 8.2.2.11.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{20 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Passaggio 8.2.2.11.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Passaggio 8.2.2.11.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{20 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Passaggio 8.2.2.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{20 \cdot 2 - 3}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Passaggio 8.2.2.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.13.1

Moltiplica $20$ per $2$ .

$\frac{40 - 3}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Passaggio 8.2.2.13.2

Sottrai $3$ da $40$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Passaggio 8.2.2.14

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Passaggio 8.2.2.15

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Passaggio 8.2.2.16

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + 2 - 1^{- 1})$

Passaggio 8.2.2.17

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - 1^{- 1})$

Passaggio 8.2.2.18

$2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - 1^{- 1})$

Passaggio 8.2.2.19

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{37}{6} - (\frac{1 + 2 \cdot 3}{3} - 1^{- 1})$

Passaggio 8.2.2.20

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.20.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1 + 6}{3} - 1^{- 1})$

Passaggio 8.2.2.20.2

Somma $1$ e $6$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1^{- 1})$

Passaggio 8.2.2.21

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1 \cdot 1)$

Passaggio 8.2.2.22

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1)$

Passaggio 8.2.2.23

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 8.2.2.24

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})$

Passaggio 8.2.2.25

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{37}{6} - \frac{7 - 1 \cdot 3}{3}$

Passaggio 8.2.2.26

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.26.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{37}{6} - \frac{7 - 3}{3}$

Passaggio 8.2.2.26.2

Sottrai $3$ da $7$ .

$\frac{37}{6} - \frac{4}{3}$

Passaggio 8.2.2.27

Per scrivere $- \frac{4}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{37}{6} - \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 8.2.2.28

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.28.1

Moltiplica $\frac{4}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{37}{6} - \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Passaggio 8.2.2.28.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{37}{6} - \frac{4 \cdot 2}{6}$

Passaggio 8.2.2.29

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{37 - 4 \cdot 2}{6}$

Passaggio 8.2.2.30

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.30.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$\frac{37 - 8}{6}$

Passaggio 8.2.2.30.2

Sottrai $8$ da $37$ .

$\frac{29}{6}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{29}{6}$

Forma decimale:

$4.8\overline{3}$

Forma numero misto:

$4 \frac{5}{6}$

Passaggio 10