Calcolo Esempi

$\int_{1}^{2} 2 e^{- 4 x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{2} 2 e^{- 4 x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{1}^{2} e^{- 4 x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 3

Sia $u = - 4 x$ . Allora $d u = - 4 d x$ , quindi $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u = - 4 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$- 4$

Passaggio 3.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = - 4 x$ .

$u_{lower} = - 4 \cdot 1$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$u_{lower} = - 4$

Passaggio 3.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = - 4 x$ .

$u_{upper} = - 4 \cdot 2$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$u_{upper} = - 8$

Passaggio 3.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = - 8$

Passaggio 3.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 \int_{- 4}^{- 8} e^{u} \frac{1}{- 4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 \int_{- 4}^{- 8} e^{u} (- \frac{1}{4}) d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$2 \int_{- 4}^{- 8} - \frac{e^{u}}{4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (- \int_{- 4}^{- 8} \frac{e^{u}}{4} d u) + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 6

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \int_{- 4}^{- 8} \frac{e^{u}}{4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$- 2 (\frac{1}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u) + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{1}{4}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 8.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 8.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 8.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 8.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 11

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 11.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 11.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Passaggio 12

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Passaggio 13

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Calcola $e^{u}$ per $- 8$ e per $- 4$ .

$- \frac{1}{2} ((e^{- 8}) - e^{- 4}) - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Passaggio 13.2

Calcola $- x^{- 1}$ per $2$ e per $1$ .

$- \frac{1}{2} ((e^{- 8}) - e^{- 4}) - ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Passaggio 13.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Passaggio 13.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + 1)$

Passaggio 13.3.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Passaggio 13.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - \frac{- 1 + 2}{2}$

Passaggio 13.3.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - \frac{1}{2}$

Passaggio 13.3.6

Per scrivere $- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 13.3.7

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4})$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 13.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot 2 - 1}{2}$

Passaggio 13.3.9

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 (\frac{1}{2}) (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Passaggio 13.3.10

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{- 2}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Passaggio 13.3.11

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.11.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Passaggio 13.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.11.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Passaggio 13.3.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Passaggio 13.3.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{- 1}{1} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Passaggio 13.3.11.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1 (1)}{2}$

Passaggio 14.2

Scomponi $- 1$ da $- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)}{2}$

Passaggio 14.3

Riscrivi $- (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)$ come $- 1 (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)$ .

$\frac{- 1 (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)}{2}$

Passaggio 14.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{e^{- 8} - e^{- 4} + 1}{2}$

Passaggio 15

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{e^{- 8} - e^{- 4} + 1}{2}$

Forma decimale:

$- 0.49100991 \dots$

Passaggio 16