Calcolo Esempi

$\int_{1}^{- 1} {(12 x + 11)}^{2} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 12 x + 11$ . Allora $d u = 12 d x$ , quindi $\frac{1}{12} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = 12 x + 11$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $12 x + 11$ .

$\frac{d}{d x} [12 x + 11]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x + 11$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [11]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $11$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $11$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $12$ e $0$ .

$12$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 12 x + 11$ .

$u_{lower} = 12 \cdot 1 + 11$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $12$ per $1$ .

$u_{lower} = 12 + 11$

Passaggio 1.3.2

Somma $12$ e $11$ .

$u_{lower} = 23$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 12 x + 11$ .

$u_{upper} = 12 \cdot - 1 + 11$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$u_{upper} = - 12 + 11$

Passaggio 1.5.2

Somma $- 12$ e $11$ .

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 23$

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{23}^{- 1} u^{2} \frac{1}{12} d u$

Passaggio 2

$u^{2}$ e $\frac{1}{12}$ .

$\int_{23}^{- 1} \frac{u^{2}}{12} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{12}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{12}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{12} \int_{23}^{- 1} u^{2} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{12} \frac{1}{3} u^{3}]_{23}^{- 1}$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola $\frac{1}{3} u^{3}$ per $- 1$ e per $23$ .

$\frac{1}{12} ((\frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1}{3} \cdot - 1 - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

Passaggio 5.2.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{12} (\frac{- 1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

Passaggio 5.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

Passaggio 5.2.4

Eleva $23$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 12167)$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica $12167$ per $- 1$ .

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - 12167 (\frac{1}{3}))$

Passaggio 5.2.6

$- 12167$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} + \frac{- 12167}{3})$

Passaggio 5.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - \frac{12167}{3})$

Passaggio 5.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 1 - 12167}{3}$

Passaggio 5.2.9

Sottrai $12167$ da $- 1$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 12168}{3}$

Passaggio 5.2.10

Elimina il fattore comune di $- 12168$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.10.1

Scomponi $3$ da $- 12168$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot - 4056}{3}$

Passaggio 5.2.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.10.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot - 4056}{3 (1)}$

Passaggio 5.2.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot - 4056}{3 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 4056}{1}$

Passaggio 5.2.10.2.4

Dividi $- 4056$ per $1$ .

$\frac{1}{12} \cdot - 4056$

Passaggio 5.2.11

$\frac{1}{12}$ e $- 4056$ .

$\frac{- 4056}{12}$

Passaggio 5.2.12

Elimina il fattore comune di $- 4056$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.12.1

Scomponi $12$ da $- 4056$ .

$\frac{12 \cdot - 338}{12}$

Passaggio 5.2.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.12.2.1

Scomponi $12$ da $12$ .

$\frac{12 \cdot - 338}{12 (1)}$

Passaggio 5.2.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 \cdot - 338}{12 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 338}{1}$

Passaggio 5.2.12.2.4

Dividi $- 338$ per $1$ .

$- 338$

Passaggio 6