Calcolo Esempi

$\int_{0}^{π} x \sin (2 x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \sin (2 x)$ .

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x))]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\cos (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2})]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Passaggio 2.2

$x$ e $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Passaggio 3

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- \frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x$

Passaggio 5

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 5.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 5.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 5.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Passaggio 5.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Passaggio 5.6

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 6

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Passaggio 8.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Passaggio 9

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{2 π}$

Passaggio 10

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 10.1

Calcola $- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ per $π$ e per $0$ .

$(- \frac{π \cos (2 π)}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{2 π}$

Passaggio 10.2

Calcola $\sin (u)$ per $2 π$ e per $0$ .

$(- \frac{π \cos (2 π)}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Passaggio 10.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Passaggio 10.3.2

Moltiplica $0$ per $\cos (0)$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{0}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Passaggio 10.3.3

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.3.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Passaggio 10.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 10.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Passaggio 10.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Passaggio 10.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{0}{1} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Passaggio 10.3.3.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + 0 + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Passaggio 10.3.4

Somma $- \frac{π \cos (2 π)}{2}$ e $0$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Passaggio 10.3.5

Per scrivere $\frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0)) \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 10.3.6

$\frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{\frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0)) \cdot 2}{2}$

Passaggio 10.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0)) \cdot 2}{2}$

Passaggio 10.3.8

$2$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Passaggio 10.3.9

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.9.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2 (1)}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Passaggio 10.3.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.9.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Passaggio 10.3.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Passaggio 10.3.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)}{2}$

Passaggio 11.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0)}{2}$

Passaggio 11.3

Somma $\sin (2 π)$ e $0$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} \sin (2 π)}{2}$

Passaggio 11.4

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 π)$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2}}{2}$

Passaggio 11.5

Moltiplica $\frac{- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2}}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2}}{2}$

Passaggio 11.6

Combina.

$\frac{2 (- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2})}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.7

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (- π \cos (2 π)) + 2 \frac{\sin (2 π)}{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 11.8.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- π \cos (2 π)) + 2 \frac{\sin (2 π)}{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.8.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (- π \cos (2 π)) + \sin (2 π)}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.9

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 2 (π \cos (2 π)) + \sin (2 π)}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.10

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π)}{4}$

Passaggio 11.11

Scomponi $- 1$ da $- 2 π \cos (2 π)$ .

$\frac{- (2 π \cos (2 π)) + \sin (2 π)}{4}$

Passaggio 11.12

Scomponi $- 1$ da $\sin (2 π)$ .

$\frac{- (2 π \cos (2 π)) - 1 (- \sin (2 π))}{4}$

Passaggio 11.13

Scomponi $- 1$ da $- (2 π \cos (2 π)) - 1 (- \sin (2 π))$ .

$\frac{- (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))}{4}$

Passaggio 11.14

Riscrivi $- (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))$ come $- 1 (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))$ .

$\frac{- 1 (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))}{4}$

Passaggio 11.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 π \cos (2 π) - \sin (2 π)}{4}$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- \frac{2 π \cos (0) - \sin (2 π)}{4}$

Passaggio 12.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- \frac{2 π \cdot 1 - \sin (2 π)}{4}$

Passaggio 12.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \frac{2 π - \sin (2 π)}{4}$

Passaggio 12.4

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- \frac{2 π - \sin (0)}{4}$

Passaggio 12.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- \frac{2 π - 0}{4}$

Passaggio 12.6

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- \frac{2 π + 0}{4}$

Passaggio 12.7

Elimina il fattore comune di $2 π + 0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.7.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$- \frac{2 (π) + 0}{4}$

Passaggio 12.7.2

Scomponi $2$ da $0$ .

$- \frac{2 (π) + 2 (0)}{4}$

Passaggio 12.7.3

Scomponi $2$ da $2 (π) + 2 (0)$ .

$- \frac{2 (π + 0)}{4}$

Passaggio 12.7.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.7.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- \frac{2 (π + 0)}{2 (2)}$

Passaggio 12.7.4.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 (π + 0)}{2 \cdot 2}$

Passaggio 12.7.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{π + 0}{2}$

Passaggio 12.8

Somma $π$ e $0$ .

$- \frac{π}{2}$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{π}{2}$

Forma decimale:

$- 1.57079632 \dots$