Calcolo Esempi

$\int_{0.3}^{1.1} x^{3} \cot (x^{4}) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = x^{2}$ . Allora $d u_{1} = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = x^{2}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = {0.3}^{2}$

Passaggio 1.3

Eleva $0.3$ alla potenza di $2$ .

$u_{lower} = 0.09$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = {1.1}^{2}$

Passaggio 1.5

Eleva $1.1$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 1.21$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0.09$

$u_{upper} = 1.21$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Riscrivi ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ come ${u_{1}}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{4}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

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Passaggio 2.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{\frac{2}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$\int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{2}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.2

$\frac{1}{2}$ e $u_{1}$ .

$\int_{0.09}^{1.21} \frac{u_{1}}{2} \cot ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Passaggio 2.3

$\frac{u_{1}}{2}$ e $\cot ({u_{1}}^{2})$ .

$\int_{0.09}^{1.21} \frac{u_{1} \cot ({u_{1}}^{2})}{2} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{0.09}^{1.21} u_{1} \cot ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Passaggio 4

Sia $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Allora $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $u_{1}$ con il limite inferiore in $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = {0.09}^{2}$

Passaggio 4.3

Eleva $0.09$ alla potenza di $2$ .

$u_{lower} = 0.0081$

Passaggio 4.4

Sostituisci $u_{1}$ con il limite superiore in $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = {1.21}^{2}$

Passaggio 4.5

Eleva $1.21$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 1.4641$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0.0081$

$u_{upper} = 1.4641$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{2} \int_{0.0081}^{1.4641} \cot (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 5

$\cot (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0.0081}^{1.4641} \frac{\cot (u_{2})}{2} d u_{2}$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0.0081}^{1.4641} \cot (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0.0081}^{1.4641} \cot (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{0.0081}^{1.4641} \cot (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 8

L'integrale di $\cot (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| \sin (u_{2}) |)]_{0.0081}^{1.4641}$

Passaggio 9

Calcola $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ per $1.4641$ e per $0.0081$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| \sin (1.4641) |) - \ln (| \sin (0.0081) |))$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| \sin (1.4641) |}{| \sin (0.0081) |})$

Passaggio 10.2

$\frac{1}{4}$ e $\ln (\frac{| \sin (1.4641) |}{| \sin (0.0081) |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1.4641) |}{| \sin (0.0081) |})}{4}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1.4641) |}{| \sin (0.0081) |})}{4}$

Forma decimale:

$2.21460382 \dots$