Calcolo Esempi

$\int_{0}^{π} x \cos (3 x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \cos (3 x)$ .

$x (\frac{1}{3} \sin (3 x))]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$\frac{1}{3}$ e $\sin (3 x)$ .

$x \frac{\sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Passaggio 2.2

$x$ e $\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \sin (3 x) d x)$

Passaggio 4

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 4.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Passaggio 4.3

Moltiplica $3$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 4.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 π$

Passaggio 4.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3 π$

Passaggio 4.6

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Passaggio 5

$\sin (u)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \frac{\sin (u)}{3} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u$

Passaggio 7.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{9} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u$

Passaggio 8

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{9} - \cos (u)]_{0}^{3 π}$

Passaggio 9

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 9.1

Calcola $\frac{x \sin (3 x)}{3}$ per $π$ e per $0$ .

$(\frac{π \sin (3 π)}{3}) - \frac{0 \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{1}{9} - \cos (u)]_{0}^{3 π}$

Passaggio 9.2

Calcola $- \cos (u)$ per $3 π$ e per $0$ .

$(\frac{π \sin (3 π)}{3}) - \frac{0 \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Passaggio 9.3

Semplifica.

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Passaggio 9.3.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0 \sin (0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $0$ per $\sin (0)$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.3

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

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Passaggio 9.3.3.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.3.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0}{1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.3.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - 0 - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} + 0 - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.5

Somma $\frac{π \sin (3 π)}{3}$ e $0$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.6

Per scrivere $- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 9.3.7

$- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} + \frac{- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot 3}{3}$

Passaggio 9.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot 3}{3}$

Passaggio 9.3.9

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{π \sin (3 π) - 3 (\frac{1}{9}) (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Passaggio 9.3.10

$- 3$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{- 3}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Passaggio 9.3.11

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $9$ .

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Passaggio 9.3.11.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 (- 1)}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Passaggio 9.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.3.11.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Passaggio 9.3.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Passaggio 9.3.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{- 1}{3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Passaggio 9.3.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Passaggio 10

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{π \sin (π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Passaggio 11.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{π \sin (0) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Passaggio 11.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{π \cdot 0 - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Passaggio 11.4

Moltiplica $π$ per $0$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Passaggio 11.5

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- \cos (π) + 1)}{3}$

Passaggio 11.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- - \cos (0) + 1)}{3}$

Passaggio 11.7

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- (- 1 \cdot 1) + 1)}{3}$

Passaggio 11.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- - 1 + 1)}{3}$

Passaggio 11.9

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (1 + 1)}{3}$

Passaggio 11.10

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} \cdot 2}{3}$

Passaggio 11.11

Moltiplica $- \frac{1}{3} \cdot 2$ .

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Passaggio 11.11.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{0 - 2 (\frac{1}{3})}{3}$

Passaggio 11.11.2

$- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{0 + \frac{- 2}{3}}{3}$

Passaggio 11.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{0 - \frac{2}{3}}{3}$

Passaggio 11.13

Sottrai $\frac{2}{3}$ da $0$ .

$\frac{- \frac{2}{3}}{3}$

Passaggio 11.14

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 11.15

Moltiplica $- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Passaggio 11.15.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 3}$

Passaggio 11.15.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{2}{9}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{2}{9}$

Forma decimale:

$- 0.\overline{2}$